The Maximum Linear Arrangement Problem for trees under projectivity and planarity

要約

最大線形配置問題 (MaxLA) は、グラフ $G$ の $n$ 頂点から、$D(G)=\sum_{uv\in E(G
)}|\pi(u) – \pi(v)|$.
この設定では、頂点は水平線上にあると見なされ、エッジは線の上に半円として描画されます。
配置が制約されている MaxLA のバリアントが存在します。
平面バリアントでは、エッジの交差は禁止されています。
根のある木の射影バリアントでは、配置は平面であり、根はどのエッジにも覆われません。
ここでは、ツリーの平面および射影 MaxLA を解く $O(n)$-time および $O(n)$-space アルゴリズムを紹介します。
また、最大射影および平面配置のいくつかのプロパティを証明し、キャタピラー ツリーが固定サイズのすべてのツリーで平面 MaxLA を最大化することにより、ツリーに対する以前の極値結果を一般化することを示します。

要約(オリジナル)

The Maximum Linear Arrangement problem (MaxLA) consists of finding a mapping $\pi$ from the $n$ vertices of a graph $G$ to distinct consecutive integers that maximizes $D(G)=\sum_{uv\in E(G)}|\pi(u) – \pi(v)|$. In this setting, vertices are considered to lie on a horizontal line and edges are drawn as semicircles above the line. There exist variants of MaxLA in which the arrangements are constrained. In the planar variant, edge crossings are forbidden. In the projective variant for rooted trees, arrangements are planar and the root cannot be covered by any edge. Here we present $O(n)$-time and $O(n)$-space algorithms that solve planar and projective MaxLA for trees. We also prove several properties of maximum projective and planar arrangements, and show that caterpillar trees maximize planar MaxLA over all trees of a fixed size thereby generalizing a previous extremal result on trees.

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