Review of the Exponential and Cayley Map on SE(3) as relevant for Lie Group Integration of the Generalized Poisson Equation and Flexible Multibody Systems

要約

SE(3) の指数写像と Cayley 写像は、剛体と柔体システムのリー群積分スキームで使用される一般的な座標写像です。
このような幾何学的積分器は、Munthe-Kaas および一般化アルファ スキームであり、それぞれの座標マップの微分およびその方向導関数を含みます。
過去 20 年間に報告された関連する閉じた形式の表現は文献に散らばっており、一部は証明なしで報告されています。
この論文は、関連するすべての閉形式の関係を関連する証明とともにまとめたリファレンスを提供します。
指数写像とケイリー写像の右自明化された微分とそれらの方向導関数 (ヘシアンに似ている) を含みます。
後者は、計算効率が改善されたケイリー写像に関して、剛体/柔軟な多体系の暗黙的な一般化アルファ スキームを生み出します。

要約(オリジナル)

The exponential and Cayley map on SE(3) are the prevailing coordinate maps used in Lie group integration schemes for rigid body and flexible body systems. Such geometric integrators are the Munthe-Kaas and generalized-alpha schemes, which involve the differential and its directional derivative of the respective coordinate map. Relevant closed form expressions, which were reported over the last two decades, are scattered in the literature, and some are reported without proof. This paper provides a reference summarizing all relevant closed form relations along with the relevant proofs. including the right-trivialized differential of the exponential and Cayley map and their directional derivatives (resembling the Hessian). The latter gives rise to an implicit generalized-alpha scheme for rigid/flexible multibody systems in terms of the Cayley map with improved computational efficiency.

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