Procrustes Analysis with Deformations: A Closed-Form Solution by Eigenvalue Decomposition

要約

一般化プロクラステス解析（GPA）は、変換を推定することによって複数の形状を共通の参照に取り込む問題です。
GPAは、ユークリッド変換とアフィン変換について広く研究されてきました。
変形可能な変換を備えたGPAを紹介します。これは、はるかに広く困難な問題を形成します。
具体的には、線形基底ワープ（LBW）と呼ばれる変換のクラスを研究します。これには、アフィン変換と、Thin-Plate Spline（TPS）などの通常の変形モデルのほとんどが含まれます。
変形を伴うGPAは、非凸の制約の少ない問題です。
形状共分散の固有値を必要とする2つの形状制約を使用して、変形可能なGPAの基本的なあいまいさを解決します。
これらの固有値は、事前または事後として独立して計算できます。
固有値分解に基づいて、変形可能なGPAに閉じた形で最適な解を与えます。
このソリューションは正則化を処理し、滑らかな変形フィールドを優先します。
変換モデルは、自由変換の基本的な特性を満たす必要があります。これにより、モデルは任意の変換を実装できると主張されます。
この特性は、アフィンモデルやTPSモデルを含む最も一般的な変換モデルに幸いにも当てはまることを示しています。
他のモデルについては、GPAに別の閉じた形式のソリューションを提供します。これは、自由変換を使用するモデルの最初のソリューションと完全に一致します。
ソリューションを計算するための擬似コードを提供し、提案されたDefGPAメソッドを導きます。これは、高速で、グローバルに最適で、広く適用できます。
クロス検証からハイパーパラメータを選択するために特別な注意を払って、メソッドを検証し、6つの多様な2Dおよび3Dデータセットでの以前の作業と比較します。

要約(オリジナル)

Generalized Procrustes Analysis (GPA) is the problem of bringing multiple shapes into a common reference by estimating transformations. GPA has been extensively studied for the Euclidean and affine transformations. We introduce GPA with deformable transformations, which forms a much wider and difficult problem. We specifically study a class of transformations called the Linear Basis Warps (LBWs), which contains the affine transformation and most of the usual deformation models, such as the Thin-Plate Spline (TPS). GPA with deformations is a nonconvex underconstrained problem. We resolve the fundamental ambiguities of deformable GPA using two shape constraints requiring the eigenvalues of the shape covariance. These eigenvalues can be computed independently as a prior or posterior. We give a closed-form and optimal solution to deformable GPA based on an eigenvalue decomposition. This solution handles regularization, favoring smooth deformation fields. It requires the transformation model to satisfy a fundamental property of free-translations, which asserts that the model can implement any translation. We show that this property fortunately holds true for most common transformation models, including the affine and TPS models. For the other models, we give another closed-form solution to GPA, which agrees exactly with the first solution for models with free-translation. We give pseudo-code for computing our solution, leading to the proposed DefGPA method, which is fast, globally optimal and widely applicable. We validate our method and compare it to previous work on six diverse 2D and 3D datasets, with special care taken to choose the hyperparameters from cross-validation.

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