Learning particle swarming models from data with Gaussian processes

要約

さまざまな群れの動作を示す相互作用する粒子またはエージェント システムは、科学と工学の分野で広く使用されています。
基本的で挑戦的な目標は、個々の相互作用ルールと群れの間のリンクを理解することです。
この論文では、放射状相互作用下での $\mathbb{R}^d$ における $N$ 粒子の進化を記述する二次粒子群れモデルのデータ駆動型発見について研究します。
潜在的な放射状相互作用関数をガウス過程としてモデル化する学習アプローチを提案します。これは、2 つの推論目標を同時に満たすことができます。
システムの非集合摩擦力のパラメータ。
学習問題を統計的逆問題として定式化し、回復可能条件の詳細な分析を提供し、保磁力条件が回復可能に十分であることを確立します。
$M$ i.i.d 軌跡から独立したガウス観測ノイズを使用して収集されたデータが与えられた場合、有限サンプル分析を提供し、事後平均推定量が再現カーネル ヒルベルト空間ノルムに収束することを示します。
古典的な 1 次元カーネル リッジ回帰で。
副産物として、$L^{\infty}$ ノルムを使用して事後限界分散のパラメトリック学習率を $M$ で取得できることを示します。
逆問題の条件数に応じて、各軌跡の観測時間インスタンス)。
さまざまな群れ行動を示すシステムに関する数値結果は、わずかなノイズの多い軌道データからのアプローチの効率的な学習を示しています。

要約(オリジナル)

Interacting particle or agent systems that display a rich variety of swarming behaviours are ubiquitous in science and engineering. A fundamental and challenging goal is to understand the link between individual interaction rules and swarming. In this paper, we study the data-driven discovery of a second-order particle swarming model that describes the evolution of $N$ particles in $\mathbb{R}^d$ under radial interactions. We propose a learning approach that models the latent radial interaction function as Gaussian processes, which can simultaneously fulfill two inference goals: one is the nonparametric inference of {the} interaction function with pointwise uncertainty quantification, and the other one is the inference of unknown scalar parameters in the non-collective friction forces of the system. We formulate the learning problem as a statistical inverse problem and provide a detailed analysis of recoverability conditions, establishing that a coercivity condition is sufficient for recoverability. Given data collected from $M$ i.i.d trajectories with independent Gaussian observational noise, we provide a finite-sample analysis, showing that our posterior mean estimator converges in a Reproducing kernel Hilbert space norm, at an optimal rate in $M$ equal to the one in the classical 1-dimensional Kernel Ridge regression. As a byproduct, we show we can obtain a parametric learning rate in $M$ for the posterior marginal variance using $L^{\infty}$ norm, and the rate could also involve $N$ and $L$ (the number of observation time instances for each trajectory), depending on the condition number of the inverse problem. Numerical results on systems that exhibit different swarming behaviors demonstrate efficient learning of our approach from scarce noisy trajectory data.

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