From Euler to AI: Unifying Formulas for Mathematical Constants

要約

一定の$ \ pi $は、何世紀にもわたって学者を魅了しており、無限の合計や継続的な分数など、その評価のために多数の式を刺激しています。
個々の重要性にもかかわらず、式の根本的なつながりの多くは不明のままであり、より深い理解を明らかにする可能性のある統一理論を欠いています。
統一理論の欠如は、数学と科学にわたるより広範な課題を反映しています。知識は通常、孤立した発見を通じて蓄積されますが、より深いつながりはしばしば隠されたままです。
この作業では、数式の統一のための自動化されたフレームワークを提示します。
私たちのシステムは、系統的フォーミュラハーベスティングのための大規模な言語モデル（LLMS）、検証のためのLLMコードフィードバックループ、およびクラスタリングと最終的な統一のための新しいシンボリックアルゴリズムを組み合わせています。
象徴的な統一の理想的なテスト場である$ \ pi $の特徴に関するこの方法を実証します。
このアプローチを455,050 ARXIVペーパーに適用すると、$ \ PI $の407個の異なる式を検証し、そのうち381（94％）間の関係を証明します。
ラマヌジャンマシンによる発見。
私たちの方法は、$ e $、$ \ Zeta（3）$、およびカタロニアの定数を含む他の定数に一般化され、ai支援数学が隠された構造を明らかにし、ドメイン全体の知識を統合する可能性を示しています。

要約(オリジナル)

The constant $\pi$ has fascinated scholars throughout the centuries, inspiring numerous formulas for its evaluation, such as infinite sums and continued fractions. Despite their individual significance, many of the underlying connections among formulas remain unknown, missing unifying theories that could unveil deeper understanding. The absence of a unifying theory reflects a broader challenge across math and science: knowledge is typically accumulated through isolated discoveries, while deeper connections often remain hidden. In this work, we present an automated framework for the unification of mathematical formulas. Our system combines large language models (LLMs) for systematic formula harvesting, an LLM-code feedback loop for validation, and a novel symbolic algorithm for clustering and eventual unification. We demonstrate this methodology on the hallmark case of $\pi$, an ideal testing ground for symbolic unification. Applying this approach to 455,050 arXiv papers, we validate 407 distinct formulas for $\pi$ and prove relations between 381 (94%) of them, of which 188 (46%) can be derived from a single mathematical object$\unicode{x2014}$linking canonical formulas by Euler, Gauss, Brouncker, and newer ones from algorithmic discoveries by the Ramanujan Machine. Our method generalizes to other constants, including $e$, $\zeta(3)$, and Catalan’s constant, demonstrating the potential of AI-assisted mathematics to uncover hidden structures and unify knowledge across domains.

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