DeePoly: A High-Order Accuracy Scientific Machine Learning Framework for Function Approximation and Solving PDEs

要約

最近、機械学習方法は、特に部分的な微分方程式（PDE）を解くために、科学的コンピューティングで大きな牽引力を獲得しました。
ただし、深いニューラルネットワーク（DNNS）に基づく方法は、従来の数値スキームと比較して収束保証と計算効率を欠いていることがよくあります。
このワークでは、ソリューションパラダイムを純粋な非凸パラメーターの最適化から2段階のアプローチに変換する新しいフレームワークであるDeepolyを紹介します。最初にDNNを使用して複雑なグローバル機能をキャプチャし、次にDNN抽出機能（Spotter）と多項式基底関数（スナイパー）を組み合わせた線形空間最適化が続きます。
この戦略的組み合わせは、両方の方法の相補的な強度を活用します – DNNSは複雑なグローバルな特徴（つまり、高勾配の特徴）を近似し、多項式近似を安定化し、多項式塩基は収束保証と高精度の局所補正を提供します。
理論分析と数値実験は、このアプローチがメッシュフリーおよびスキームのないプロパティを維持しながら、多様な問題タイプ全体で高次精度と効率の両方を大幅に向上させることを示しています。
この論文は、オープンソースプロジェクトDeepolyの理論的博覧会としても機能します。

要約(オリジナル)

Recently, machine learning methods have gained significant traction in scientific computing, particularly for solving Partial Differential Equations (PDEs). However, methods based on deep neural networks (DNNs) often lack convergence guarantees and computational efficiency compared to traditional numerical schemes. This work introduces DeePoly, a novel framework that transforms the solution paradigm from pure non-convex parameter optimization to a two-stage approach: first employing a DNN to capture complex global features, followed by linear space optimization with combined DNN-extracted features (Spotter) and polynomial basis functions (Sniper). This strategic combination leverages the complementary strengths of both methods — DNNs excel at approximating complex global features (i.e., high-gradient features) and stabilize the polynomial approximation while polynomial bases provide high-precision local corrections with convergence guarantees. Theoretical analysis and numerical experiments demonstrate that this approach significantly enhances both high-order accuracy and efficiency across diverse problem types while maintaining mesh-free and scheme-free properties. This paper also serves as a theoretical exposition for the open-source project DeePoly.

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