Tractable hierarchies of convex relaxations for polynomial optimization on the nonnegative orthant

要約

非陰性オルサントに含まれる半自由セットの多項式最適化問題（POP）を考慮します（コンパクトセットのすべてのPOPは、原点の単純な翻訳によってこの形式に配置できます）。
このようなポップは、各変数を二乗することにより、同等のポップに変換できます。
対称性と因子幅の概念さえも使用して、ディキンソン-PovhによるP \ ‘OlyaのPositivstellensatzの拡張に基づいて、半微細緩和の階層を提案します。
際立った特徴と重要な特徴として、結果として生じる各半光緩和の最大マトリックスサイズは任意に選択でき、さらに、新しい階層によって返される値のシーケンスは、速度で$ o（\ varepsilon^{ – c}）がemplainsysを持っている場合に速度で最適な値に収束することを証明します。
（i）多層ニューラルネットワークの堅牢性認証と（ii）正の最大特異値の計算に適用されると、P \ ‘OlyaのPositivstellensatzに基づく方法に基づく方法は、標準的なモーメントソス階層の数百倍速い境界を提供し、数百倍速く走ります。

要約(オリジナル)

We consider polynomial optimization problems (POP) on a semialgebraic set contained in the nonnegative orthant (every POP on a compact set can be put in this format by a simple translation of the origin). Such a POP can be converted to an equivalent POP by squaring each variable. Using even symmetry and the concept of factor width, we propose a hierarchy of semidefinite relaxations based on the extension of P\’olya’s Positivstellensatz by Dickinson-Povh. As its distinguishing and crucial feature, the maximal matrix size of each resulting semidefinite relaxation can be chosen arbitrarily and in addition, we prove that the sequence of values returned by the new hierarchy converges to the optimal value of the original POP at the rate $O(\varepsilon^{-c})$ if the semialgebraic set has nonempty interior. When applied to (i) robustness certification of multi-layer neural networks and (ii) computation of positive maximal singular values, our method based on P\’olya’s Positivstellensatz provides better bounds and runs several hundred times faster than the standard Moment-SOS hierarchy.

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