Laplace Transform Based Low-Complexity Learning of Continuous Markov Semigroups

要約

マルコフプロセスは、多くの実際のランダムプロセスの普遍的なモデルとして機能します。
このホワイトペーパーでは、マルコフセミグループの無限発生器（IG）のスペクトル分解を通じて、これらのモデルを学習するためのデータ駆動型アプローチを紹介します。
IGの固定されていない性質は、ベクトル値の回帰やヒルベルトシュミットオペレーター分析などの従来の方法を複雑にします。
物理学に基づいたカーネル回帰を含む既存の手法は、計算高価で範囲が制限されており、タイムラグが小さい場合は転送演算子方法の回復保証はありません。
トランスファー演算子のラプラス変換を特徴とするIGのレゾルベントを活用する新しい方法を提案します。
このアプローチは、タイムラグのバリエーションに対して堅牢であり、小さなタイムラグでも正確な固有値学習を保証します。
当社の統計分析は、現在の方法よりも広範なクラスのマルコフプロセスに適用され、状態の次元で2次から線形に計算の複雑さを減らします。
最後に、2つの実験で方法の挙動を説明します。

要約(オリジナル)

Markov processes serve as a universal model for many real-world random processes. This paper presents a data-driven approach for learning these models through the spectral decomposition of the infinitesimal generator (IG) of the Markov semigroup. The unbounded nature of IGs complicates traditional methods such as vector-valued regression and Hilbert-Schmidt operator analysis. Existing techniques, including physics-informed kernel regression, are computationally expensive and limited in scope, with no recovery guarantees for transfer operator methods when the time-lag is small. We propose a novel method that leverages the IG’s resolvent, characterized by the Laplace transform of transfer operators. This approach is robust to time-lag variations, ensuring accurate eigenvalue learning even for small time-lags. Our statistical analysis applies to a broader class of Markov processes than current methods while reducing computational complexity from quadratic to linear in the state dimension. Finally, we illustrate the behaviour of our method in two experiments.

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