Robust Moment Identification for Nonlinear PDEs via a Neural ODE Approach

要約

ニューラルODEを使用して、PDEガバーンシステムから減少したモーメントダイナミクスを学習するためのデータ駆動型フレームワークを提案します。
密にサンプリングされたデータを必要とし、ノイズに敏感なSindyのような派生ベースの方法とは対照的に、ニューラルODEに基づくアプローチはモーメントの軌跡を直接モデル化し、まばらで潜在的に不規則な時系列からの堅牢な学習を可能にします。
アプリケーションプラットフォームとして非線形Schr \ ‘{o}ディンガー方程式を使用すると、フレームワークは、限られた不規則な観測であっても、閉鎖が利用可能であるときに、瞬間のダイナミクスを正確に回復します。
分析的閉鎖のないシステムについては、Stiefelマニホールド最適化に基づいてデータ駆動型の座標変換戦略を導入し、瞬間のダイナミクスが閉じられる低次元表現の発見を可能にし、解釈可能で信頼できるモデリングを促進します。
また、Fisher-KPP反応拡散システムなど、閉鎖モデルが知られていない場合も調査します。
ここでは、ニューラルODが、閉鎖されていないモーメントのダイナミクスを効果的に近似し、物理的なエクスパー由来のODEモデルと比較して優れた外挿精度を達成できることを実証します。
この利点は、まばらで不規則なサンプリングの下で​​も堅牢なままであり、データに制限された設定におけるメソッドの堅牢性を強調しています。
我々の結果は、複雑なPDEガバーンシステムで解釈可能で低次元モーメントダイナミクスを学習するための強力で柔軟なツールとして、ニューラルODEフレームワークを強調しています。

要約(オリジナル)

We propose a data-driven framework for learning reduced-order moment dynamics from PDE-governed systems using Neural ODEs. In contrast to derivative-based methods like SINDy, which necessitate densely sampled data and are sensitive to noise, our approach based on Neural ODEs directly models moment trajectories, enabling robust learning from sparse and potentially irregular time series. Using as an application platform the nonlinear Schr\'{o}dinger equation, the framework accurately recovers governing moment dynamics when closure is available, even with limited and irregular observations. For systems without analytical closure, we introduce a data-driven coordinate transformation strategy based on Stiefel manifold optimization, enabling the discovery of low-dimensional representations in which the moment dynamics become closed, facilitating interpretable and reliable modeling. We also explore cases where a closure model is not known, such as a Fisher-KPP reaction-diffusion system. Here we demonstrate that Neural ODEs can still effectively approximate the unclosed moment dynamics and achieve superior extrapolation accuracy compared to physical-expert-derived ODE models. This advantage remains robust even under sparse and irregular sampling, highlighting the method’s robustness in data-limited settings. Our results highlight the Neural ODE framework as a powerful and flexible tool for learning interpretable, low-dimensional moment dynamics in complex PDE-governed systems.

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