Guided Diffusion Sampling on Function Spaces with Applications to PDEs

要約

PDEベースの逆問題における条件付きサンプリングのための一般的なフレームワークを提案し、非常にまばらまたはうるさい測定からの解決策全体の回復を対象としています。
これは、関数空間拡散モデルと条件付けのためのプラグアンドプレイガイダンスによって達成されます。
私たちの方法は、最初に、神経演算子アーキテクチャを使用して、無条件の離散化と存在する除去モデルを訓練します。
推論では、勾配ベースのガイダンスメカニズムを介して、まばらな観察データを満たすためにサンプルを改良します。
厳密な数学的分析を通じて、Tweedieの式を無限の次元ヒルベルト空間に拡張し、後部サンプリングアプローチの理論的基盤を提供します。
私たちの方法（FUNDPS）は、最小限の監督と深刻なデータ不足の下で、関数空間の後部分布を正確にキャプチャします。
わずか3％の観測で5つのPDEタスクにわたって、この方法は、サンプリングステップを4倍削減しながら、最先端の固定解像度拡散ベースラインよりも平均32％の精度改善を達成します。
さらに、多解像度の微調整により、強力な分解の一般化が保証されます。
私たちの知る限り、これは離散化とは独立して動作する最初の拡散ベースのフレームワークであり、PDEのコンテキストで前方および逆の問題のための実用的で柔軟なソリューションを提供します。
コードはhttps://github.com/neuraloperator/fundpsで入手できます

要約(オリジナル)

We propose a general framework for conditional sampling in PDE-based inverse problems, targeting the recovery of whole solutions from extremely sparse or noisy measurements. This is accomplished by a function-space diffusion model and plug-and-play guidance for conditioning. Our method first trains an unconditional discretization-agnostic denoising model using neural operator architectures. At inference, we refine the samples to satisfy sparse observation data via a gradient-based guidance mechanism. Through rigorous mathematical analysis, we extend Tweedie’s formula to infinite-dimensional Hilbert spaces, providing the theoretical foundation for our posterior sampling approach. Our method (FunDPS) accurately captures posterior distributions in function spaces under minimal supervision and severe data scarcity. Across five PDE tasks with only 3% observation, our method achieves an average 32% accuracy improvement over state-of-the-art fixed-resolution diffusion baselines while reducing sampling steps by 4x. Furthermore, multi-resolution fine-tuning ensures strong cross-resolution generalizability. To the best of our knowledge, this is the first diffusion-based framework to operate independently of discretization, offering a practical and flexible solution for forward and inverse problems in the context of PDEs. Code is available at https://github.com/neuraloperator/FunDPS

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