When do Lyapunov Subcenter Manifolds become Eigenmanifolds?

要約

マルチボディの機械システムには、効率的な制御ターゲットを策定するために活用できる豊富な内部ダイナミクスがあります。
ロボットアプリケーションの定期的な規制タスクの場合、これにより、非線形正常モードに関する理論の拡張がリーマニアの多様体に拡張され、固有マニホールドの定義が生じました。
この定義は幾何学的であり、ロボット工学内の一般性にとって有利ですが、非線形ダイナミクスに関する文献からの大規模な結果と固有マニフォールドのつながりを曖昧にします。
このギャップを埋め、固有マニフォルズはリアプノフサブセンターマニホールド（LSM）の例であり、LSMに関するそれらの強力な幾何学的特性が保守的な機械システムの時点から続くことを示しています。
これは、固有マニフォールドの局所的な存在と独自性の結果に直接つながります。
さらに、追加の空間的対称性により、制御アプリケーションに適しているローゼンバーグマニホールドの固有マニフォールドが、さらに強力な特性を提供することを示し、それらの存在と独自性に十分な条件を提示します。
これらの理論的結果は、二重振り子と5リンク振り子の2つの機械システムで数値的に確認されています。

要約(オリジナル)

Multi-body mechanical systems have rich internal dynamics, which can be exploited to formulate efficient control targets. For periodic regulation tasks in robotics applications, this motivated the extension of the theory on nonlinear normal modes to Riemannian manifolds, and led to the definition of Eigenmanifolds. This definition is geometric, which is advantageous for generality within robotics but also obscures the connection of Eigenmanifolds to a large body of results from the literature on nonlinear dynamics. We bridge this gap, showing that Eigenmanifolds are instances of Lyapunov subcenter manifolds (LSMs), and that their stronger geometric properties with respect to LSMs follow from a time-symmetry of conservative mechanical systems. This directly leads to local existence and uniqueness results for Eigenmanifolds. Furthermore, we show that an additional spatial symmetry provides Eigenmanifolds with yet stronger properties of Rosenberg manifolds, which can be favorable for control applications, and we present a sufficient condition for their existence and uniqueness. These theoretical results are numerically confirmed on two mechanical systems with a non-constant inertia tensor: a double pendulum and a 5-link pendulum.

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