Joint Metric Space Embedding by Unbalanced OT with Gromov-Wasserstein Marginal Penalization

要約

不均一なデータセットの監視されていないアラインメントのための新しいアプローチを提案します。これは、一般的なメトリック空間への既知の対応なしに2つの異なるドメインからのデータをマップします。
私たちの方法は、Gromov-Wassersteinの限界罰則の不均衡な最適輸送問題に基づいています。
最近導入された共同多次元スケーリング法の対応物と見なすことができます。
私たちの機能のミニマライザーが存在し、ペナルティ化パラメーターが無限になると、対応するミニマイザーのシーケンスがいわゆる埋め込まれたワッサースタイン距離のミニマライザーに収束することを証明します。
私たちのモデルは、二次的で多目的、不均衡な最適輸送問題として再定式化できます。これにより、バイコンベックス緩和がブロック座標系を介して数値ソルバーを認めます。
ユークリッドと非ユークリッドの空間における共同埋め込みの数値例を提供します。

要約(オリジナル)

We propose a new approach for unsupervised alignment of heterogeneous datasets, which maps data from two different domains without any known correspondences to a common metric space. Our method is based on an unbalanced optimal transport problem with Gromov-Wasserstein marginal penalization. It can be seen as a counterpart to the recently introduced joint multidimensional scaling method. We prove that there exists a minimizer of our functional and that for penalization parameters going to infinity, the corresponding sequence of minimizers converges to a minimizer of the so-called embedded Wasserstein distance. Our model can be reformulated as a quadratic, multi-marginal, unbalanced optimal transport problem, for which a bi-convex relaxation admits a numerical solver via block-coordinate descent. We provide numerical examples for joint embeddings in Euclidean as well as non-Euclidean spaces.

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