Accelerating Multiscale Modeling with Hybrid Solvers: Coupling FEM and Neural Operators with Domain Decomposition

要約

部分微分方程式（PDE）の数値ソルバーは、特にマルチスケールおよび動的システムで、計算コストと精度のバランスをとる課題に直面しています。
ニューラル演算子はシミュレーションを大幅に高速化できます。
しかし、彼らはしばしば、エラーの蓄積や多物理学の問題における限られた一般化などの課題に直面しています。
この作業では、物理学に基づいたディープネットとドメイン分解を介してFEMを統合する新しいハイブリッドフレームワークを紹介します。
コアイノベーションは、シュワルツの交互の方法を介して、FEMおよびディープネットのサブドメインを適応的に結合することにあります。
この方法論は、計算上厳しい領域を事前に訓練したディープオペレーターネットワークに戦略的に割り当て、残りの計算ドメインはFEMを通じて解決されます。
動的システムに対処するために、Newmark Time-StepingスキームをDeepOnetに直接統合し、長期シミュレーションにおけるエラーの蓄積を大幅に軽減します。
さらに、適応型サブドメインの進化により、ML分解領域は動的に拡大し、リメッシュなしで新たな微細な機能をキャプチャすることができます。
フレームワークの有効性は、静的、準静的、動的なレジームを含むさまざまな固体力学の問題で検証されており、収束速度が加速していることを示しています（Fe-FEアプローチと比較して最大20％の改善）。
私たちのケーススタディは、提案されているハイブリッドソルバーが次のことを示しています。（1）サブドメインインターフェイス全体でソリューションの連続性を維持し、（2）微細なメッシュ要件を排除することにより計算コストを削減し、（3）時間依存シミュレーションでの誤差蓄積を軽減し、（4）進化する物理フェノメナへの自動適応を可能にします。
この作業は、数値的手法とAI駆動型の代理との間のギャップを橋渡しし、エンジニアリングおよび科学的アプリケーションにおける高忠実度シミュレーションのためのスケーラブルな経路を提供します。

要約(オリジナル)

Numerical solvers for partial differential equations (PDEs) face challenges balancing computational cost and accuracy, especially in multiscale and dynamic systems. Neural operators can significantly speed up simulations; however, they often face challenges such as error accumulation and limited generalization in multiphysics problems. This work introduces a novel hybrid framework that integrates physics-informed DeepONet with FEM through domain decomposition. The core innovation lies in adaptively coupling FEM and DeepONet subdomains via a Schwarz alternating method. This methodology strategically allocates computationally demanding regions to a pre-trained Deep Operator Network, while the remaining computational domain is solved through FEM. To address dynamic systems, we integrate the Newmark time-stepping scheme directly into the DeepONet, significantly mitigating error accumulation in long-term simulations. Furthermore, an adaptive subdomain evolution enables the ML-resolved region to expand dynamically, capturing emerging fine-scale features without remeshing. The framework’s efficacy has been validated across a range of solid mechanics problems, including static, quasi-static, and dynamic regimes, demonstrating accelerated convergence rates (up to 20% improvement compared to FE-FE approaches), while preserving solution fidelity with error < 1%. Our case studies show that our proposed hybrid solver: (1) maintains solution continuity across subdomain interfaces, (2) reduces computational costs by eliminating fine mesh requirements, (3) mitigates error accumulation in time-dependent simulations, and (4) enables automatic adaptation to evolving physical phenomena. This work bridges the gap between numerical methods and AI-driven surrogates, offering a scalable pathway for high-fidelity simulations in engineering and scientific applications.

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