Sidecar: A Structure-Preserving Framework for Solving Partial Differential Equations with Neural Networks

要約

神経ネットワーク（NNS）を使用して部分微分方程式（PDE）を解くことは、さまざまな科学および工学分野で大きな可能性を示しています。
ただし、ほとんどの既存のNNソルバーは、主に、質量保存やエネルギー散逸などの固有の物理的特性を明示的に考慮せずに、与えられたPDEの満足度に焦点を当てています。
この制限は、特に長期シミュレーションで、不安定または非物理的なソリューションをもたらす可能性があります。
この問題に対処するために、SideCarを提案します。SideCarは、構造予定の知識を組み込むことにより、既存のNNソルバーの精度と物理的一貫性を高める新しいフレームワークです。
時間依存のスペクトル繰り込み（TDSR）アプローチに触発されたサイドカーフレームワークは、物理的構造の保存に既存のNNソルバーを導くように訓練された小さな副操縦士ネットワークを導入しています。
このフレームワークは、非常に柔軟になるように設計されており、多様なPDEから幅広いNNソルバーに構造を提供する原理を組み込むことができます。
ベンチマークPDEでの実験結果は、構造圧力特性との精度と一貫性の観点から、既存のニューラルネットワークソルバーの改善を示しています。

要約(オリジナル)

Solving partial differential equations (PDEs) with neural networks (NNs) has shown great potential in various scientific and engineering fields. However, most existing NN solvers mainly focus on satisfying the given PDEs, without explicitly considering intrinsic physical properties such as mass conservation or energy dissipation. This limitation can result in unstable or nonphysical solutions, particularly in long-term simulations. To address this issue, we propose Sidecar, a novel framework that enhances the accuracy and physical consistency of existing NN solvers by incorporating structure-preserving knowledge. Inspired by the Time-Dependent Spectral Renormalization (TDSR) approach, our Sidecar framework introduces a small copilot network, which is trained to guide the existing NN solver in preserving physical structure. This framework is designed to be highly flexible, enabling the incorporation of structure-preserving principles from diverse PDEs into a wide range of NN solvers. Our experimental results on benchmark PDEs demonstrate the improvement of the existing neural network solvers in terms of accuracy and consistency with structure-preserving properties.

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