Minmax Trend Filtering: Generalizations of Total Variation Denoising via a Local Minmax/Maxmin Formula

要約

総変動除去（TVD）は、基本的な除去および平滑化方法です。
この記事では、すべてのポイントで単変量TVD推定器を挟む2つの推定器を生成する新しいローカルMinmax/Maxmin式を特定します。
運用上、この式は、ローカル平均の単純な関数のMinmax/MaxminとしてのTVDのローカル定義を提供します。
さらに、このMinmax/Maxmin式は一般化可能であり、他のTVDのような推定器を定義するために使用できることがわかります。
この記事では、さまざまなスケールの間隔にわたってペナルティされた局所的多項式回帰の最適化と最大の最適化の間にあるポイントワイズにあるTVDの高次多項式バージョンを提案および研究します。
これらは、通常のトレンドフィルタリングやノンパラメトリック回帰ツールボックスの他の既存の方法とは異なる新しいノンパラメトリック回帰法のようです。
これらの推定器Minmaxトレンドフィルタリング（MTF）と呼びます。
提案されたTVD/MTF推定器のローカル定義により、トレードオフなどのローカルバイアスの差異の観点から、ポイントワイズの推定エラーが牽引可能になる方法を示します。
TVD/MTFのこのタイプのローカル分析は、TVD/トレンドフィルタリングの既存の分析よりも新しく、間違いなく簡単です。
特に、境界変動と区分的多項式クラスにわたるミニマックスレートの最適性は別として、ポイントワイズ推定誤差境界は、（局所的に）ホルダーの滑らかな信号の局所的な収束率を導き出すこともできます。
これらのローカル料金は、グローバル（MSE）ベースの正当化の代わりに、TVD/MTFのローカル適応性の新しいポイントワイズの説明を提供します。

要約(オリジナル)

Total Variation Denoising (TVD) is a fundamental denoising and smoothing method. In this article, we identify a new local minmax/maxmin formula producing two estimators which sandwich the univariate TVD estimator at every point. Operationally, this formula gives a local definition of TVD as a minmax/maxmin of a simple function of local averages. Moreover we find that this minmax/maxmin formula is generalizeable and can be used to define other TVD like estimators. In this article we propose and study higher order polynomial versions of TVD which are defined pointwise lying between minmax and maxmin optimizations of penalized local polynomial regressions over intervals of different scales. These appear to be new nonparametric regression methods, different from usual Trend Filtering and any other existing method in the nonparametric regression toolbox. We call these estimators Minmax Trend Filtering (MTF). We show how the proposed local definition of TVD/MTF estimator makes it tractable to bound pointwise estimation errors in terms of a local bias variance like trade-off. This type of local analysis of TVD/MTF is new and arguably simpler than existing analyses of TVD/Trend Filtering. In particular, apart from minimax rate optimality over bounded variation and piecewise polynomial classes, our pointwise estimation error bounds also enable us to derive local rates of convergence for (locally) Holder Smooth signals. These local rates offer a new pointwise explanation of local adaptivity of TVD/MTF instead of global (MSE) based justifications.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google