On Sinkhorn’s Algorithm and Choice Modeling

要約

Bradley（Terry）を含むLuceの選択に基づいた選択とランキングデータのために、実際に広く使用されている幅広いクラスのモデルの場合、関連する最尤推定問題は、ターゲットの行と列の合計との古典的なマトリックスのバランスの問題に相当することを示します。
この視点は、一見無関係な2つの研究分野の間の扉を開き、選択モデリングの文献の既存のアルゴリズムを、マトリックスバランスのためのシンホーンの有名なアルゴリズムの特別なインスタンスまたはアナログとして統一することができます。
これらの接続からインスピレーションを引き出し、Sinkhornのアルゴリズムの研究に関するいくつかのオープンな問題を解決します。
有限スケーリングマトリックスが存在するたびに、非陰性マトリックスのシンホーンのアルゴリズムのグローバルな線形収束を確立し、加重二部グラフの代数的接続性の観点から線形収束速度を特徴付けます。
さらに、ナイト（2008）の古典的な結果を一般化する、線形収束の鋭い漸近速度を導き出します。
私たちの知る限り、これらは、一般的な非陰性行列と正の辺縁のためのSinkhornのアルゴリズムの最初の定量的線形収束結果です。
私たちの結果は、マトリックスのバランスとシンクホーンのアルゴリズムにおける接続性と直交構造の重要性を強調しています。
より広く言えば、マトリックスのバランスと選択モデリングの間にこの論文で確立する接続は、アイデアのさらなる伝達の動機付けにも役立ち、両方の分野で興味深い結果につながる可能性があります。

要約(オリジナル)

For a broad class of models widely used in practice for choice and ranking data based on Luce’s choice axiom, including the Bradley–Terry–Luce and Plackett–Luce models, we show that the associated maximum likelihood estimation problems are equivalent to a classic matrix balancing problem with target row and column sums. This perspective opens doors between two seemingly unrelated research areas, and allows us to unify existing algorithms in the choice modeling literature as special instances or analogs of Sinkhorn’s celebrated algorithm for matrix balancing. We draw inspirations from these connections and resolve some open problems on the study of Sinkhorn’s algorithm. We establish the global linear convergence of Sinkhorn’s algorithm for non-negative matrices whenever finite scaling matrices exist, and characterize its linear convergence rate in terms of the algebraic connectivity of a weighted bipartite graph. We further derive the sharp asymptotic rate of linear convergence, which generalizes a classic result of Knight (2008). To our knowledge, these are the first quantitative linear convergence results for Sinkhorn’s algorithm for general non-negative matrices and positive marginals. Our results highlight the importance of connectivity and orthogonality structures in matrix balancing and Sinkhorn’s algorithm, which could be of independent interest. More broadly, the connections we establish in this paper between matrix balancing and choice modeling could also help motivate further transmission of ideas and lead to interesting results in both disciplines.

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