Operator Learning: A Statistical Perspective

要約

演算子学習は、無限次元関数空間間のマッピングを近似するための科学計算の強力なツールとして登場した。演算子学習の主な応用は、偏微分方程式（PDE）の解演算子の代理モデルの開発である。また、これらの手法は、数学的モデルが知られていなくても、実験データからシステムの振る舞いをモデル化するブラックボックス・シミュレータの開発にも利用できる。本稿では、まず作用素学習を関数から関数への回帰問題として定式化し、この分野における最近の動向をレビューする。また、PDEに特化した演算子学習についても議論し、物理的・数学的制約をアーキテクチャ設計やトレーニングプロセスに組み込むための戦略について概説する。最後に、能動的なデータ収集や厳密な不確実性定量化フレームワークの開発など、今後の重要な方向性を強調して終わる。

要約(オリジナル)

Operator learning has emerged as a powerful tool in scientific computing for approximating mappings between infinite-dimensional function spaces. A primary application of operator learning is the development of surrogate models for the solution operators of partial differential equations (PDEs). These methods can also be used to develop black-box simulators to model system behavior from experimental data, even without a known mathematical model. In this article, we begin by formalizing operator learning as a function-to-function regression problem and review some recent developments in the field. We also discuss PDE-specific operator learning, outlining strategies for incorporating physical and mathematical constraints into architecture design and training processes. Finally, we end by highlighting key future directions such as active data collection and the development of rigorous uncertainty quantification frameworks.

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