Geometric Meta-Learning via Coupled Ricci Flow: Unifying Knowledge Representation and Quantum Entanglement

要約

このペーパーでは、3つの基本的な革新を通じて、幾何学的なフローと深い学習を統合する統合されたフレームワークを確立します。
まず、パラメーター空間のジオメトリを損失景観トポロジに動的に適応させる熱力学的に結合されたリッチの流れを提案します。正式には、等尺性知識の埋め込みを維持することが証明されています（定理〜\ ref {thm：等尺性}）。
第二に、明示的な位相遷移のしきい値と重要な学習率（定理〜\ ref {thm：critical}）を曲率爆発分析を通じて導き出し、幾何学的手術を介した自動化された特異点解像度を可能にします（lemma〜 \ ref {lem：手術}）。
第三に、ニューラルネットワークとコンフォーマルフィールド理論の間にADS/CFTタイプのホログラフィック二重性（定理〜\ ref {thm：ads}）を確立し、正規化設計のためのエンタングルメントエントロピー境界を提供します。
実験は、$ \ mathcal {o}（n \ log n）$の複雑さを維持しながら、2.1 $ \ times $ convergence accelerationと63 \ entのトポロジー単純化を示しています。
理論的には、ペレルマンエントロピーとワッサースタイン勾配流を組み合わせた新しいリアプノフ関数を通じて、指数関数的安定性（定理〜\ ref {thm：converge}）を証明し、幾何学的な深い学習を根本的に進めます。

要約(オリジナル)

This paper establishes a unified framework integrating geometric flows with deep learning through three fundamental innovations. First, we propose a thermodynamically coupled Ricci flow that dynamically adapts parameter space geometry to loss landscape topology, formally proved to preserve isometric knowledge embedding (Theorem~\ref{thm:isometric}). Second, we derive explicit phase transition thresholds and critical learning rates (Theorem~\ref{thm:critical}) through curvature blowup analysis, enabling automated singularity resolution via geometric surgery (Lemma~\ref{lem:surgery}). Third, we establish an AdS/CFT-type holographic duality (Theorem~\ref{thm:ads}) between neural networks and conformal field theories, providing entanglement entropy bounds for regularization design. Experiments demonstrate 2.1$\times$ convergence acceleration and 63\% topological simplification while maintaining $\mathcal{O}(N\log N)$ complexity, outperforming Riemannian baselines by 15.2\% in few-shot accuracy. Theoretically, we prove exponential stability (Theorem~\ref{thm:converge}) through a new Lyapunov function combining Perelman entropy with Wasserstein gradient flows, fundamentally advancing geometric deep learning.

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