Physics-Informed Gaussian Process Regression Generalizes Linear PDE Solvers

要約

線形偏微分方程式 (PDE) は、重要で広く適用されている機構モデルのクラスであり、熱伝達、電磁気、波動伝播などの物理プロセスを記述します。
実際には、離散化に基づく特殊な数値手法を使用して偏微分方程式を解きます。
通常、未知のモデル パラメーターの推定値を使用し、利用可能な場合は、初期化のために物理的な測定値を使用します。
このようなソルバーは、エラーの定量化が重要な役割を果たすように、ダウンストリーム アプリケーションを使用してより大きな科学モデルに組み込まれることがよくあります。
ただし、パラメーターと測定の不確実性を無視することにより、従来の PDE ソルバーは固有の近似誤差の一貫した推定値を生成できない場合があります。
この作業では、線形偏微分方程式の解法を物理学に基づいたガウス過程 (GP) 回帰として解釈することにより、原則に基づいてこの問題に取り組みます。
私たちのフレームワークは、任意の有界線形演算子を介して行われた観測に対する直接測定でGPを調整するために広く適用されている定理の重要な一般化に基づいています。
重要なことに、この確率論的観点により、(1) 固有の離散化誤差を定量化できます。
(2) モデル パラメータに関する不確実性を解に伝播します。
(3) ノイズの多い測定条件。
この定式化の強さを実証することで、重み付き残差の方法、選点、有限体積、疑似スペクトル、有限要素法やスペクトル法などの (一般化された) ガラーキン法を含む PDE ソルバーの中心的なクラスを厳密に一般化することを証明します。
したがって、このクラスには、構造化されたエラー推定を直接装備できます。
要約すると、我々の結果は、数値解析とベイジアン推論の間の境界を曖昧にすることにより、モジュラービルディングブロックとしての機構モデルを確率モデルにシームレスに統合することを可能にします。

要約(オリジナル)

Linear partial differential equations (PDEs) are an important, widely applied class of mechanistic models, describing physical processes such as heat transfer, electromagnetism, and wave propagation. In practice, specialized numerical methods based on discretization are used to solve PDEs. They generally use an estimate of the unknown model parameters and, if available, physical measurements for initialization. Such solvers are often embedded into larger scientific models with a downstream application such that error quantification plays a key role. However, by ignoring parameter and measurement uncertainty, classical PDE solvers may fail to produce consistent estimates of their inherent approximation error. In this work, we approach this problem in a principled fashion by interpreting solving linear PDEs as physics-informed Gaussian process (GP) regression. Our framework is based on a key generalization of a widely-applied theorem for conditioning GPs on direct measurements to observations made via an arbitrary bounded linear operator. Crucially, this probabilistic viewpoint allows to (1) quantify the inherent discretization error; (2) propagate uncertainty about the model parameters to the solution; and (3) condition on noisy measurements. Demonstrating the strength of this formulation, we prove that it strictly generalizes methods of weighted residuals, a central class of PDE solvers including collocation, finite volume, pseudospectral, and (generalized) Galerkin methods such as finite element and spectral methods. This class can thus be directly equipped with a structured error estimate. In summary, our results enable the seamless integration of mechanistic models as modular building blocks into probabilistic models by blurring the boundaries between numerical analysis and Bayesian inference.

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