Integral Forms in Matrix Lie Groups

要約

マトリックスの嘘グループは、ロボット工学、コンピュータービジョン、グラフィックスなどのフィールドでの動きを記述するための言語を提供します。
これらのツールを使用する場合、無限のシリーズの表現をよりコンパクトな有限シリーズ（例えば、オイラーロッドリケ式）に変えることに直面することがよくありますが、これは時々面倒です。
この論文では、コンパクトな分析結果を計算するためのより合理化された経路を提供するマトリックスLieグループ式のいくつかの有用な積分形態を特定します。
さらに、これらの表現の多くが相互に関連していることを示すこれらの積分形式のいくつかの再帰構造を提示します。
私たちのアプローチの鍵は、プロセスのかなり早い段階で嘘代数に最小限の多項式を適用して、派生全体を通して表現をコンパクトに保つ​​ことができることです。
シリーズアプローチでは、最小限の多項式が最後に適用されるため、結果の一般的な分析式を認識するのが難しくなります。
私たちの積分方法は、文献からいくつかのシリーズ由来の結果を再現できることを示しています。

要約(オリジナル)

Matrix Lie groups provide a language for describing motion in such fields as robotics, computer vision, and graphics. When using these tools, we are often faced with turning infinite-series expressions into more compact finite series (e.g., the Euler-Rodriques formula), which can sometimes be onerous. In this paper, we identify some useful integral forms in matrix Lie group expressions that offer a more streamlined pathway for computing compact analytic results. Moreover, we present some recursive structures in these integral forms that show many of these expressions are interrelated. Key to our approach is that we are able to apply the minimal polynomial for a Lie algebra quite early in the process to keep expressions compact throughout the derivations. With the series approach, the minimal polynomial is usually applied at the end, making it hard to recognize common analytic expressions in the result. We show that our integral method can reproduce several series-derived results from the literature.

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