Geometric Freeze-Tag Problem

要約

Arkinらによって導入されたフリーズタグ問題（FTP）を研究します。
（Soda’02）、目標は、単一のアクティブロボットから始まる$ n $ロボットのグループを目覚めさせることです。
私たちの焦点は、ロボットが$ \ mathbb {r}^d $に配置され、アクティブになると、ロボットが一定の速度で移動して他の人を目覚めさせることができる問題の幾何学版に焦点を当てています。
目的は、Makespanとしても知られる最後のロボットをアクティブにするのにかかる時間を最小限に抑えることです。
$ l_1 $および$ l_2 $の$ \ mathbb {r}^2 $および$ \ mathbb {r}^3 $の新しい上限を提示します。
$（\ mathbb {r}^2、l_2）$の場合、最大$ 5.4162R $のメイクスパンを達成し、Bonichon et al。
（disc’24）。
$（\ mathbb {r}^3、l_1）$で、$ 13R $の上限を確立します。
ここで、$ r $は、指定された標準の下で最初にアクティブなロボットからのロボットの最大距離を示します。
私たちの知る限り、これらはこれらの規範の下で$ \ mathbb {r}^3 $のMakepanの最初の既知の境界です。
また、ロボットが境界上に配置されている特定のインスタンスについて、$（\ mathbb {r}^3、l_2）$でftpを探索し、実際のシナリオに関するさらなる洞察を提供します。

要約(オリジナル)

We study the Freeze-Tag Problem (FTP), introduced by Arkin et al. (SODA’02), where the goal is to wake up a group of $n$ robots, starting from a single active robot. Our focus is on the geometric version of the problem, where robots are positioned in $\mathbb{R}^d$, and once activated, a robot can move at a constant speed to wake up others. The objective is to minimize the time it takes to activate the last robot, also known as the makespan. We present new upper bounds for the $l_1$ and $l_2$ norms in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$. For $(\mathbb{R}^2, l_2)$, we achieve a makespan of at most $5.4162r$, improving on the previous bound of $7.07r$ by Bonichon et al. (DISC’24). In $(\mathbb{R}^3, l_1)$, we establish an upper bound of $13r$, which leads to a bound of $22.52r$ for $(\mathbb{R}^3, l_2)$. Here, $r$ denotes the maximum distance of a robot from the initially active robot under the given norm. To the best of our knowledge, these are the first known bounds for the makespan in $\mathbb{R}^3$ under these norms. We also explore the FTP in $(\mathbb{R}^3, l_2)$ for specific instances where robots are positioned on a boundary, providing further insights into practical scenarios.

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