Discretely Beyond $1/e$: Guided Combinatorial Algorithms for Submodular Maximization

要約

必ずしも単調なモジュールの最大化ではない制約の場合、$ 1/e $を超える比率を持つすべての既知の近似アルゴリズムには、サブモジュラー関数の多線形拡張とその勾配のクエリなど、通常のセットとシミュレートするために高価な勾配など、継続的なアイデアが必要です。
関数。
組み合わせアルゴリズムの場合、サイズとマットロイドの制約の両方で最も既知の近似比は、Buchbinder et al。の単純な無作為化貪欲なアルゴリズムによって得られます。
[9]：$ 1/e \ $ 1/e \サイズの制約に対して約0.367 $、$ \ mathcal o（kn）$ queriesのMatroid制約の場合は0.281 $ $ 0.281 $、$ k $はMatroidのランクです。
この作業では、最初の組み合わせアルゴリズムを開発して、$ 1/e $バリアを破る：サイズの制約のためのサブモードゥラーセット関数の$ \ mathcal o（kn）$ QUERIEで0.385ドルの近似比を取得します。
一般的なマットロイドの制約。
これらは、ランダム化された貪欲なアルゴリズムを高速ローカル検索アルゴリズムで導くことによって達成されます。
さらに、これらのアルゴリズムの決定論的バージョンを開発し、同じ比率と漸近時間の複雑さを維持します。
最後に、比率$ 0.377 $の決定論的でほぼ線形の時間アルゴリズムを開発します。

要約(オリジナル)

For constrained, not necessarily monotone submodular maximization, all known approximation algorithms with ratio greater than $1/e$ require continuous ideas, such as queries to the multilinear extension of a submodular function and its gradient, which are typically expensive to simulate with the original set function. For combinatorial algorithms, the best known approximation ratios for both size and matroid constraint are obtained by a simple randomized greedy algorithm of Buchbinder et al. [9]: $1/e \approx 0.367$ for size constraint and $0.281$ for the matroid constraint in $\mathcal O (kn)$ queries, where $k$ is the rank of the matroid. In this work, we develop the first combinatorial algorithms to break the $1/e$ barrier: we obtain approximation ratio of $0.385$ in $\mathcal O (kn)$ queries to the submodular set function for size constraint, and $0.305$ for a general matroid constraint. These are achieved by guiding the randomized greedy algorithm with a fast local search algorithm. Further, we develop deterministic versions of these algorithms, maintaining the same ratio and asymptotic time complexity. Finally, we develop a deterministic, nearly linear time algorithm with ratio $0.377$.

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