Neural Implicit Solution Formula for Efficiently Solving Hamilton-Jacobi Equations

要約

この論文では、ハミルトン・ジャコビ部分微分方程式（HJ PDE）の暗黙的な溶液式を示します。
式は、特性の方法を使用して導出され、ハミルトニアンまたは初期関数のいずれかが凸状の場合のHOPFとLAX式と一致することが示されています。
HJ PDEの粘度溶液を計算するためのシンプルで効率的な数値的アプローチ、ハミルトニアンまたは初期条件のLegendRE変換の必要性、および個々の特性軌跡の明示的な計算をバイパスするためのシンプルで効率的な数値アプローチを提供します。
この暗黙のソリューション式を学ぶために、深い学習ベースの方法論が提案されており、高次元の問題のスケーラビリティを確保するために、深い学習のメッシュフリーの性質を活用しています。
このフレームワークに基づいて、状態依存性ハミルトニアンの特性曲線を線形に近似するアルゴリズムが開発されています。
広範な実験結果は、提案された方法が非凸ハミルトニアンであっても非常に正確なソリューションを提供し、顕著なスケーラビリティを示し、最大40次元の問題の計算効率を達成することを示しています。

要約(オリジナル)

This paper presents an implicit solution formula for the Hamilton-Jacobi partial differential equation (HJ PDE). The formula is derived using the method of characteristics and is shown to coincide with the Hopf and Lax formulas in the case where either the Hamiltonian or the initial function is convex. It provides a simple and efficient numerical approach for computing the viscosity solution of HJ PDEs, bypassing the need for the Legendre transform of the Hamiltonian or the initial condition, and the explicit computation of individual characteristic trajectories. A deep learning-based methodology is proposed to learn this implicit solution formula, leveraging the mesh-free nature of deep learning to ensure scalability for high-dimensional problems. Building upon this framework, an algorithm is developed that approximates the characteristic curves piecewise linearly for state-dependent Hamiltonians. Extensive experimental results demonstrate that the proposed method delivers highly accurate solutions, even for nonconvex Hamiltonians, and exhibits remarkable scalability, achieving computational efficiency for problems up to 40 dimensions.

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