Solving Roughly Forced Nonlinear PDEs via Misspecified Kernel Methods and Neural Networks

要約

ガウスプロセス（GPS）またはニューラルネットワーク（NNS）を使用して、一般的に確率PDEの経路ごとの解として発生する、粗い強制またはソース用語で非線形部分微分方程式（PDE）の解を数値的に近似することを検討します。
カーネル法は最近、コロケーションポイントの有限セットでPDEを満たすように条件付けられたGPSの最大A後推定器として、その解を近似することにより、非線形PDEを解くために一般化されました。
ただし、これらの方法の収束とエラーの保証は、古典的な意味で定義されているPDEと、関連するカーネルヒルベルトスペースに属するのに十分な規則性を備えたソリューションに依存しています。
これらの方法の一般化を提案して、真のソリューションの規則性と比較して誤って指定された過剰な滑らかなGPカーネルで収束保証を保存しながら、大幅に強制された非線形PDEを処理します。
これは、通常のGPを条件にして、弱い意味で修正されたソース用語でPDEを満たすことによって達成されます（有限数のテスト関数に対して統合された場合）。
これは、経験的$ l^2 $ lossをPDE制約における経験的否定ソボレフ基準に置き換えることと同等です。
さらに、この損失関数を使用して、物理情報に基づいたニューラルネットワーク（PINN）を確率的方程式に拡張できることを示し、それにより、ネガティブソボレフノルムピン（NES-PINN）と呼ばれる新しいNNベースのバリアントが得られます。

要約(オリジナル)

We consider the use of Gaussian Processes (GPs) or Neural Networks (NNs) to numerically approximate the solutions to nonlinear partial differential equations (PDEs) with rough forcing or source terms, which commonly arise as pathwise solutions to stochastic PDEs. Kernel methods have recently been generalized to solve nonlinear PDEs by approximating their solutions as the maximum a posteriori estimator of GPs that are conditioned to satisfy the PDE at a finite set of collocation points. The convergence and error guarantees of these methods, however, rely on the PDE being defined in a classical sense and its solution possessing sufficient regularity to belong to the associated reproducing kernel Hilbert space. We propose a generalization of these methods to handle roughly forced nonlinear PDEs while preserving convergence guarantees with an oversmoothing GP kernel that is misspecified relative to the true solution’s regularity. This is achieved by conditioning a regular GP to satisfy the PDE with a modified source term in a weak sense (when integrated against a finite number of test functions). This is equivalent to replacing the empirical $L^2$-loss on the PDE constraint by an empirical negative-Sobolev norm. We further show that this loss function can be used to extend physics-informed neural networks (PINNs) to stochastic equations, thereby resulting in a new NN-based variant termed Negative Sobolev Norm-PINN (NeS-PINN).

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