GeoSDF: Plane Geometry Diagram Synthesis via Signed Distance Field

要約

平面ジオメトリダイアグラムの合成は、コンピューターグラフィックスの重要なタスクであり、アプリケーションは教育ツールからAI駆動型の数学的推論に至るまでの範囲です。
従来、私たちはコンピューターツール（MatplotlibやGeogebraなど）に依存して、手動で正確な図を生成しますが、通常、巨大で複雑な計算コストが必要です。
最近、研究者は学習ベースの方法（例えば、安定した拡散やGPT4）に取り組み、図を自動的に生成し、運用コストを節約しますが、通常は限られたリアリズムと不十分な精度に苦しんでいます。
この論文では、署名距離フィールド（SDF）で効率的かつ正確に図を自動的に生成するための新しいフレームワークGEOSDFを提案します。
具体的には、最初にSDFの幾何学的要素を表し、次に一連の制約関数を構築して幾何学的関係を表すように構築します。次に、このような制約関数を最適化して、最適化されたフィールドと制約の両方のフィールドを最適化します。
GEOSDFでは、幾何学的要素とそれらの制約を簡単に表現するためのシンボリック言語を定義し、SDFで合成されたジオメトリ図を自己検証し、数学的精度と視覚的妥当性の両方を確保できます。
実験では、GEOSDFは通常の高校レベルとIMOレベルのジオメトリ図の両方を合成しました。
定性的分析と定量分析の両方を通じて、合成された図は現実的で正確であり、合成プロセスがシンプルで効率的であることがわかります。
さらに、自己検証特性を活用することにより、幾何学的な問題を解決する非常に高い精度（95 \％を超えているが、現在のSOTA精度は約75％）を取得します。
これらはすべて、GeoSDFの利点を示しており、幅広いアプリケーションのためのより洗練され、正確で、柔軟な幾何学図の生成のための道を開いています。

要約(オリジナル)

Plane Geometry Diagram Synthesis has been a crucial task in computer graphics, with applications ranging from educational tools to AI-driven mathematical reasoning. Traditionally, we rely on computer tools (e.g., Matplotlib and GeoGebra) to manually generate precise diagrams, but it usually requires huge, complicated calculations cost. Recently, researchers start to work on learning-based methods (e.g., Stable Diffusion and GPT4) to automatically generate diagrams, saving operational cost but usually suffering from limited realism and insufficient accuracy. In this paper, we propose a novel framework GeoSDF to automatically generate diagrams efficiently and accurately with Signed Distance Field (SDF). Specifically, we first represent geometric elements in the SDF, then construct a series of constraint functions to represent geometric relationships, next we optimize such constraint functions to get an optimized field of both elements and constraints, finally by rendering the optimized field, we can obtain the synthesized diagram. In our GeoSDF, we define a symbolic language to easily represent geometric elements and those constraints, and our synthesized geometry diagrams can be self-verified in the SDF, ensuring both mathematical accuracy and visual plausibility. In experiments, our GeoSDF synthesized both normal high-school level and IMO-level geometry diagrams. Through both qualitative and quantitative analysis, we can see that synthesized diagrams are realistic and accurate, and our synthesizing process is simple and efficient. Furthermore, we obtain a very high accuracy of solving geometry problems (over 95\% while the current SOTA accuracy is around 75%) by leveraging our self-verification property. All of these demonstrate the advantage of GeoSDF, paving the way for more sophisticated, accurate, and flexible generation of geometric diagrams for a wide array of applications.

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