Three iterations of $(d-1)$-WL test distinguish non isometric clouds of $d$-dimensional points

要約

Weisfeiler – Lehman（WL）テストは、グラフの同型をチェックするための基本的な反復アルゴリズムです。
また、このテストの表現力の観点から理解できるいくつかのグラフニューラルネットワークアーキテクチャの設計の根底にあることも観察されています。
3次元オブジェクトを含むデータセットへの機械学習アプリケーションの最近の開発に動機付けられているため、完全な距離グラフで表されるユークリッドポイントの雲について、WLテストが{\ em em Complete}である場合、つまり、等程度まで、そのような任意のクラウドを区別できる場合に研究します。
完全な距離グラフで表されるユークリッドポイントの％任意の雲。
％weisfeilerの寸法の数 – Lehmanテストでは、$ D $ DIMENSIOL EUCLIDEANスペースで2つの非等等尺度雲を区別するのに十分です。
この質問は、グラフニューラルネットワークのアーキテクチャがポイントクラウドの空間構造を完全に活用できることを理解するために重要です。
私たちの主な結果は、$ d $ -dimensional Euclideanスペースのポイントクラウドでは、$ d \ ge 2 $のポイントクラウドで完了し、テストの3回の繰り返しのみが十分であることを示しています。
また、完全性を達成するために$ D $-Dimensional WLテストでは1回の反復のみが必要であることがわかります。
したがって、私たちの論文は、3次元のケースを完全に理解しています。以前の作品では、1-wlが$ \ mathbb {r}^3 $で完了していないことが示されており、2-wlがそこで完了していることが示されています。
また、$ \ mathbb {r}^3 $で平面ポイント雲を認識できないことを示すことにより、1-wlの下限を強化します。
最後に、$ \ mathbb {r}^6 $で2-wlが完全ではないことを示します。$ \ mathbb {r}^{d} $ for $ d = 4,5 $で完了したかどうか。

要約(オリジナル)

The Weisfeiler–Lehman (WL) test is a fundamental iterative algorithm for checking isomorphism of graphs. It has also been observed that it underlies the design of several graph neural network architectures, whose capabilities and performance can be understood in terms of the expressive power of this test. Motivated by recent developments in machine learning applications to datasets involving three-dimensional objects, we study when the WL test is {\em complete} for clouds of euclidean points represented by complete distance graphs, i.e., when it can distinguish, up to isometry, any arbitrary such cloud. %arbitrary clouds of euclidean points represented by complete distance graphs. % How many dimensions of the Weisfeiler–Lehman test is enough to distinguish any two non-isometric point clouds in $d$-dimensional Euclidean space, assuming that these point clouds are given as complete graphs labeled by distances between the points? This question is important for understanding, which architectures of graph neural networks are capable of fully exploiting the spacial structure of a point cloud. Our main result states that the $(d-1)$-dimensional WL test is complete for point clouds in $d$-dimensional Euclidean space, for any $d\ge 2$, and that only three iterations of the test suffice. We also observe that the $d$-dimensional WL test only requires one iteration to achieve completeness. Our paper thus provides complete understanding of the 3-dimensional case: it was shown in previous works that 1-WL is not complete in $\mathbb{R}^3$, and we show that 2-WL is complete there. We also strengthen the lower bound for 1-WL by showing that it is unable to recognize planar point clouds in $\mathbb{R}^3$. Finally, we show that 2-WL is not complete in $\mathbb{R}^6$, leaving as an open question, whether it is complete in $\mathbb{R}^{d}$ for $d = 4,5$.

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