Dynamic Consistent $k$-Center Clustering with Optimal Recourse

要約

敵から送信された任意のメトリック空間と一連のポイントアップデートからのポイントは、$ k $クラスタリング問題の一定の因子近似を維持するために、アップデートごとの最小償還（つまり、更新後にセンターのセットに必要な変更の最小変更数）は何ですか？
この質問は、一貫したクラスタリングという名前で近年注目を集めています。
LattanziとVassilvitskii [ICLM ’17]とFichtenberger、Lattanzi、Norouzi-Fard、およびSvensson [Soda ’21]による以前の作品は、$ K $ -Centerおよび$ K $ -Medianの目的を含む$ K $ Clustering目標を研究しました。
このホワイトペーパーでは、完全に動的な設定で$ k $ center目的を研究します。ここでは、更新はポイント挿入またはポイント削除のいずれかです。
私たちの作業の前に、{\ l} \ k {a} cki、haeupler、grunau、rozho \ v {n}、およびjayaram [soda ’24]は、$ 2 $ per $ perの最悪の復seとの$ k-center目的のための決定論的な完全に動的な定数因子近似アルゴリズムを与えました。
この作業では、$ K $ -CENTERクラスタリングの問題が、更新ごとに最悪のケースのリクルースを$ 1 $の決定論的に完全に動的な定数因子近似アルゴリズムを開発することにより、最適な頼みの範囲を認めていることを証明します。
さらに、当社のアルゴリズムは、光データ構造に基づいて単純な選択を実行するため、洗練された組み合わせ構造を使用する前のものよりも直接的かつ高速です。
さらに、新しい決定論的減少アルゴリズムと新しい決定論的増分アルゴリズムを開発します。どちらも、アップデートあたり1ドルの最悪のリコースを備えた6ドルの$ Approximate $ k $ centerソリューションを維持します。
私たちのインクリメンタルアルゴリズムは、Charikar、Chekuri、Feder、およびMotwani [STOC ’97]による8ドルの承認アルゴリズムで改善されます。
最後に、私たちのアルゴリズムの3つすべてが決定論的であるため、適応的な敵に対して働くことに注意してください。

要約(オリジナル)

Given points from an arbitrary metric space and a sequence of point updates sent by an adversary, what is the minimum recourse per update (i.e., the minimum number of changes needed to the set of centers after an update), in order to maintain a constant-factor approximation to a $k$-clustering problem? This question has received attention in recent years under the name consistent clustering. Previous works by Lattanzi and Vassilvitskii [ICLM ’17] and Fichtenberger, Lattanzi, Norouzi-Fard, and Svensson [SODA ’21] studied $k$-clustering objectives, including the $k$-center and the $k$-median objectives, under only point insertions. In this paper we study the $k$-center objective in the fully dynamic setting, where the update is either a point insertion or a point deletion. Before our work, {\L}\k{a}cki, Haeupler, Grunau, Rozho\v{n}, and Jayaram [SODA ’24] gave a deterministic fully dynamic constant-factor approximation algorithm for the $k$-center objective with worst-case recourse of $2$ per update. In this work, we prove that the $k$-center clustering problem admits optimal recourse bounds by developing a deterministic fully dynamic constant-factor approximation algorithm with worst-case recourse of $1$ per update. Moreover our algorithm performs simple choices based on light data structures, and thus is arguably more direct and faster than the previous one which uses a sophisticated combinatorial structure. Additionally, we develop a new deterministic decremental algorithm and a new deterministic incremental algorithm, both of which maintain a $6$-approximate $k$-center solution with worst-case recourse of $1$ per update. Our incremental algorithm improves over the $8$-approximation algorithm by Charikar, Chekuri, Feder, and Motwani [STOC ’97]. Finally, we remark that since all three of our algorithms are deterministic, they work against an adaptive adversary.

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