Physics-informed Reduced Order Modeling of Time-dependent PDEs via Differentiable Solvers

要約

時間依存性およびパラメーター化された微分方程式の縮小順序モデリング（ROM）は、溶液フィールドの特性とその時間依存のダイナミクスをキャプチャするコンパクトな潜在マニホールド表現を学習することにより、複雑な高次元システムのシミュレーションを加速することを目的としています。
高忠実度の数値ソルバーはトレーニングデータセットを生成しますが、これまでトレーニングプロセスから除外されており、学習した潜在的ダイナミクスが離散化された管理物理学から離れて漂流しています。
この不一致により、一般化と予測機能が制限されることがよくあります。
この作業では、微分可能なPDEソルバーをトレーニング手順に組み込むことにより、物理学に基づいたROM（$ \ phi $ -ROM）を提案します。
具体的には、潜在的な空間ダイナミクスとPDEパラメーターへの依存性は、ソルバーにエンコードされた支配物理学によって直接形作られ、完全なシステムと縮小システムの間の強い対応を確保します。
私たちのモデルは、目に見えないパラメーターから生じる新しいダイナミクスに正確に一般化し、トレーニング期間を超えて長期予測を可能にし、時間と空間の両方の連続性を維持し、データコストを削減することにより、最先端のデータ駆動型ROMやその他の物理学に基づいた戦略を上回ります。
さらに、$ \ phi $ -ROMは、フィールドのまばらで不規則な観測で訓練または評価された場合でも、ソリューションフィールドの回復と予測を学び、フィールドの再構成とデータ同化の柔軟なフレームワークを提供します。
さまざまなPDEソルバーにわたるフレームワークの堅牢性を示し、他のPDEシステムや微分可能なソルバーに容易に拡張できるオープンソースJAX実装を提供することにより、その幅広い適用性を強調します。

要約(オリジナル)

Reduced-order modeling (ROM) of time-dependent and parameterized differential equations aims to accelerate the simulation of complex high-dimensional systems by learning a compact latent manifold representation that captures the characteristics of the solution fields and their time-dependent dynamics. Although high-fidelity numerical solvers generate the training datasets, they have thus far been excluded from the training process, causing the learned latent dynamics to drift away from the discretized governing physics. This mismatch often limits generalization and forecasting capabilities. In this work, we propose Physics-informed ROM ($\Phi$-ROM) by incorporating differentiable PDE solvers into the training procedure. Specifically, the latent space dynamics and its dependence on PDE parameters are shaped directly by the governing physics encoded in the solver, ensuring a strong correspondence between the full and reduced systems. Our model outperforms state-of-the-art data-driven ROMs and other physics-informed strategies by accurately generalizing to new dynamics arising from unseen parameters, enabling long-term forecasting beyond the training horizon, maintaining continuity in both time and space, and reducing the data cost. Furthermore, $\Phi$-ROM learns to recover and forecast the solution fields even when trained or evaluated with sparse and irregular observations of the fields, providing a flexible framework for field reconstruction and data assimilation. We demonstrate the framework’s robustness across different PDE solvers and highlight its broad applicability by providing an open-source JAX implementation readily extensible to other PDE systems and differentiable solvers.

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