Accelerating Multiscale Modeling with Hybrid Solvers: Coupling FEM and Neural Operators with Domain Decomposition

要約

PDEの数値ソルバーは、特にマルチスケールおよび動的システムの場合、計算コストと精度のバランスをとる上で課題に直面しています。
ニューラル演算子（NOS）は、シミュレーションを大幅に高速化できます。
ただし、動的システムのエラーの蓄積や、多目的問題における限られた一般化などの課題に直面しています。
この作業では、ドメイン分解を介してPI-NOと有限要素法（FE）を統合し、時間行進の数値分析をレバレッジする新しいハイブリッドフレームワークを紹介します。
コアイノベーションは、効率的な結合Feとシュワルツの交互の方法を介したサブドメインなしにあります：複雑な、非線形、または高勾配の動作を持つ領域は、前処理されたNOを使用して解決されますが、残りは従来のFEによって処理されます。
動的システムの課題に対処するために、時間ステップスキームを直接アーキテクチャに埋め込み、長期エラーの伝播を大幅に削減しました。
また、適応型サブドメインの進化戦略により、MLは解決された領域が動的に拡張し、リメッシュなしで新たな微細なスケール機能をキャプチャすることができます。
フレームワークの有効性は、静的、準静的、および動的なレジーム（例えば、線形弾性、高弾力性、および伸縮力学）にまたがるさまざまな問題にわたって検証されており、加速収束を実証します（従来のFeコーティングと比較して、バーゲンの最大20％改善）。
私たちの研究は、ハイブリッドソルバーが次のことを示しています。（1）サブドメインインターフェイス全体でソリューションの連続性を維持し、（2）微細なメッシュ要件を排除することにより計算コストを削減し、（3）時間依存シミュレーションでのエラーの蓄積を軽減し、（4）進化する物理現象への自動適応を可能にします。
この作業は、数値的手法とAI駆動型の代理とのギャップを橋渡しし、高忠実度のマルチスケールシミュレーションのためのスケーラブルな経路を提供します。

要約(オリジナル)

Numerical solvers for PDEs face challenges in balancing computational cost and accuracy, particularly for multiscale and dynamical systems. Neural operators (NOs) can significantly speed up simulations; however, they face challenges such as error accumulation for dynamical systems and limited generalization in multiphysics problems. This work introduces a novel hybrid framework that integrates PI-NO with finite element method (FE) through domain decomposition and leverages numerical analysis for time marching. The core innovation lies in efficient coupling FE and NO subdomains via a Schwarz alternating method: regions with complex, nonlinear, or high-gradient behavior are resolved using a pretrained NO, while the remainder is handled by conventional FE. To address the challenges of dynamic systems, we embed a time-stepping scheme directly into the NO architecture, substantially reducing long-term error propagation. Also, an adaptive subdomain evolution strategy enables the ML resolved region to expand dynamically, capturing emerging fine scale features without remeshing. The framework efficacy has been validated across a range of problems, spanning static, quasi-static, and dynamic regimes (e.g., linear elasticity, hyperelasticity, and elastodynamics), demonstrating accelerated convergence (up to 20% improvement in convergence compared to conventional FE coupling) while preserving solution fidelity with error margins consistently below 1%. Our study shows that our hybrid solver: (1) maintains solution continuity across subdomain interfaces, (2) reduces computational costs by eliminating fine mesh requirements, (3) mitigates error accumulation in time dependent simulations, and (4) enables automatic adaptation to evolving physical phenomena. This work bridges the gap between numerical methods and AI-driven surrogates, offering a scalable pathway for high-fidelity multiscale simulations.

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