Representing spherical tensors with scalar-based machine-learning models

要約

回転対称性は、物理学において中心的な役割を果たし、3Dオブジェクトの特性（原子から巨視的なスケールまで）が剛性回転の作用下でどのように変換されるかを説明するエレガントなフレームワークを提供します。
3Dポイントクラウドの等量モデルは、球面テンソルである中間表現を組み合わせることにより、回転グループの構造と完全に一致する方法で構造とプロパティの関係を近似することができます。
しかし、対称性の制約により、このアプローチは計算的に要求が厳しく、実装が面倒になります。これにより、トレーニングプロセスの一部として近似対称性を学習するますます人気のないアーキテクチャが動機付けられます。
この作業では、この学習問題に取り組むための3番目のルートを探索します。ここでは、ポイントクラウド座標のスカラー関数と適切な対称性のあるテンソルの小さな基礎として表現されます。
また、一般的な式の近似を提案します。これは、普遍的な近似特性を欠いていますが、実装が迅速で、簡単で、実用的な設定で正確であることを提案します。

要約(オリジナル)

Rotational symmetry plays a central role in physics, providing an elegant framework to describe how the properties of 3D objects — from atoms to the macroscopic scale — transform under the action of rigid rotations. Equivariant models of 3D point clouds are able to approximate structure-property relations in a way that is fully consistent with the structure of the rotation group, by combining intermediate representations that are themselves spherical tensors. The symmetry constraints however make this approach computationally demanding and cumbersome to implement, which motivates increasingly popular unconstrained architectures that learn approximate symmetries as part of the training process. In this work, we explore a third route to tackle this learning problem, where equivariant functions are expressed as the product of a scalar function of the point cloud coordinates and a small basis of tensors with the appropriate symmetry. We also propose approximations of the general expressions that, while lacking universal approximation properties, are fast, simple to implement, and accurate in practical settings.

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