Vector valued optimal transport: from dynamic to static formulations

要約

ベクターの評価測定と多種種PDEの分類におけるアプリケーションに動機付けられているため、動的製剤（\ `a la benamou-brenier）から静的定式化（\` a la kantorovich）まで、ベクターの価値のある最適輸送の既存の概念を統一する理論を開発します。
私たちのフレームワークでは、ベクトルの価値のある測定値は、製品スペース$ \ mathbb {r}^d \ times g $の確率測定としてモデル化されています。ここで、$ g $は有限のノードのセットで加重グラフであり、グラフジオメトリは関連する動的距離と静的距離に強く影響します。
ベクトルの価値のある最適な輸送の4つの概念を関連付ける鋭い不平等を取得し、距離が相互に古い同等物であることを証明します。
各メトリックの理論的および実用的な利点について説明し、複数のPDEおよびデータ分析における潜在的なアプリケーションを示します。
特に、論文で説明されている静的な定式化の1つは線形化に適しています。これは、ペアワイズ最適輸送距離の計算を加速するために近年調査されている手法です。

要約(オリジナル)

Motivated by applications in classification of vector valued measures and multispecies PDE, we develop a theory that unifies existing notions of vector valued optimal transport, from dynamic formulations (\`a la Benamou-Brenier) to static formulations (\`a la Kantorovich). In our framework, vector valued measures are modeled as probability measures on a product space $\mathbb{R}^d \times G$, where $G$ is a weighted graph over a finite set of nodes and the graph geometry strongly influences the associated dynamic and static distances. We obtain sharp inequalities relating four notions of vector valued optimal transport and prove that the distances are mutually bi-H\’older equivalent. We discuss the theoretical and practical advantages of each metric and indicate potential applications in multispecies PDE and data analysis. In particular, one of the static formulations discussed in the paper is amenable to linearization, a technique that has been explored in recent years to accelerate the computation of pairwise optimal transport distances.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google