Anant-Net: Breaking the Curse of Dimensionality with Scalable and Interpretable Neural Surrogate for High-Dimensional PDEs

要約

高次元の部分微分方程式（PDE）は、多様な科学的および工学的アプリケーションで発生しますが、次元の呪いのために計算上扱いにくいままです。
従来の数値的手法は、特に必要なコロケーションポイントの数が次元とともに急速に増加する高圧ドメインで、計算の複雑さの指数関数的な成長と闘っています。
ここでは、この課題を克服する効率的なニューラル代理であるAnant-Netを紹介し、高次元でのPDEの解を可能にします。
寸法が増加するにつれて内部体積が減少する過球とは異なり、ハイパーキューブは体積を保持または拡張し（単位以上の長さ）、高次元計算を非常に厳しくします。
ANANT-NETは、高次元の境界条件を効率的に組み込み、高次元のコロケーションポイントでのPDE残差を最小限に抑えます。
解釈可能性を高めるために、Kolmogorov-ArnoldネットワークをAnant-Netアーキテクチャに統合します。
Poisson、Sine-Gordon、およびAllen-Cahn方程式を含むいくつかの線形および非線形の高次元方程式に関するAnant-Netのパフォーマンスをベンチマークし、高次元空間からランダムにサンプリングされたテストポイント全体で高い精度と堅牢性を示しています。
重要なことに、Anant-Netはこれらの結果を驚くほど効率的に達成し、数時間以内に単一のGPUで300次元の問題を解決します。
また、Anant-Netの結果を精度とランタイムと比較して、他の最先端の方法と比較します。
私たちの調査結果は、高次元のPDEを効率的に解くための正確で解釈可能なスケーラブルなフレームワークとしてAnant-Netを確立しています。

要約(オリジナル)

High-dimensional partial differential equations (PDEs) arise in diverse scientific and engineering applications but remain computationally intractable due to the curse of dimensionality. Traditional numerical methods struggle with the exponential growth in computational complexity, particularly on hypercubic domains, where the number of required collocation points increases rapidly with dimensionality. Here, we introduce Anant-Net, an efficient neural surrogate that overcomes this challenge, enabling the solution of PDEs in high dimensions. Unlike hyperspheres, where the internal volume diminishes as dimensionality increases, hypercubes retain or expand their volume (for unit or larger length), making high-dimensional computations significantly more demanding. Anant-Net efficiently incorporates high-dimensional boundary conditions and minimizes the PDE residual at high-dimensional collocation points. To enhance interpretability, we integrate Kolmogorov-Arnold networks into the Anant-Net architecture. We benchmark Anant-Net’s performance on several linear and nonlinear high-dimensional equations, including the Poisson, Sine-Gordon, and Allen-Cahn equations, demonstrating high accuracy and robustness across randomly sampled test points from high-dimensional space. Importantly, Anant-Net achieves these results with remarkable efficiency, solving 300-dimensional problems on a single GPU within a few hours. We also compare Anant-Net’s results for accuracy and runtime with other state-of-the-art methods. Our findings establish Anant-Net as an accurate, interpretable, and scalable framework for efficiently solving high-dimensional PDEs.

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