Probabilistic and Causal Satisfiability: Constraining the Model

要約

確率的および因果的推論における満足度問題の複雑さを研究します。
ランダム変数$ x_1、x_2、\ ldots $ over有限ドメインを超えると、基本的な用語は、$ p（x_1 = x_1）$または$ p（x_1 = x_1 \ vee x_2 = x_2）$などの原子イベント$ x_i = x_i $を介した命題式の確率です。
基本的な用語は、加算（線形項の生成）または乗算（多項式用語）を使用して組み合わせることができます。
確率的満足度の問題は、共同確率分布がそのような用語での（in）等ティのブールの組み合わせを満たすかどうかを尋ねます。
Fagin et al。
（1990）基本的および線形用語の場合、この問題はNP不完全であり、Moss \ ‘et al。
（2022）多項式の用語については、実質の実存理論のために完全であることを証明しました。
パールの因果階層（PCH）は、介入的で反事実的な推論で確率的設定を拡張し、言語の表現力を豊かにします。
ただし、Moss \ ‘et al。
（2022）満足度の複雑さのままであることがわかりました。
van der Zander et al。
（2023）は、言語に疎外演算子を導入することで複雑さの大幅な増加を誘発することを示しました。
モデルを制約することにより、問題に2つの新しい次元を追加することにより、この作業を拡張します。
まず、Pearl’s Do-Calculusのような設定によって動機付けられた基礎となる構造因果モデルのグラフ構造を修正し、異なる算術とPCHレベルでほぼ完全な景観を与えます。
第二に、小さなモデルを研究します。
以前の研究では、満足できるインスタンスが多項式サイズモデルを認めることが示されましたが、これはコンパクトな疎外ではもはや保証されていません。
さまざまな設定にわたる小型モデル制約の下での満足度の複雑さを特徴付けます。

要約(オリジナル)

We study the complexity of satisfiability problems in probabilistic and causal reasoning. Given random variables $X_1, X_2,\ldots$ over finite domains, the basic terms are probabilities of propositional formulas over atomic events $X_i = x_i$, such as $P(X_1 = x_1)$ or $P(X_1 = x_1 \vee X_2 = x_2)$. The basic terms can be combined using addition (yielding linear terms) or multiplication (polynomial terms). The probabilistic satisfiability problem asks whether a joint probability distribution satisfies a Boolean combination of (in)equalities over such terms. Fagin et al. (1990) showed that for basic and linear terms, this problem is NP-complete, making it no harder than Boolean satisfiability, while Moss\’e et al. (2022) proved that for polynomial terms, it is complete for the existential theory of the reals. Pearl’s Causal Hierarchy (PCH) extends the probabilistic setting with interventional and counterfactual reasoning, enriching the expressiveness of languages. However, Moss\’e et al. (2022) found that satisfiability complexity remains unchanged. Van der Zander et al. (2023) showed that introducing a marginalization operator to languages induces a significant increase in complexity. We extend this line of work by adding two new dimensions to the problem by constraining the models. First, we fix the graph structure of the underlying structural causal model, motivated by settings like Pearl’s do-calculus, and give a nearly complete landscape across different arithmetics and PCH levels. Second, we study small models. While earlier work showed that satisfiable instances admit polynomial-size models, this is no longer guaranteed with compact marginalization. We characterize the complexities of satisfiability under small-model constraints across different settings.

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