On Stopping Times of Power-one Sequential Tests: Tight Lower and Upper Bounds

要約

一般的な複合ヌルと代替案の間の連続テストの停止時間の2つの下限を証明します。
最初の下限は、タイプ1エラーレベル$ \ alpha $がゼロに近づき、$ \ log（1/\ alpha）$を特定のInfimum kl Divergenceで割った$ \ operatorname {kl_ {inf}} $と呼ばれる設定用です。
2番目の下限は、$ \ alpha $が固定され、$ \ operatorname {kl_ {inf}} $が0（nullおよび代替セットが分離されていないことを意味します）に近づき、$ c \ operatorname {kl_ {inf}}}^{ – 1} \ log \ log log log log log log log log \ log log
\ operatorname {kl_ {inf}}^{ – 1} $ universal constant $ c> 0 $。
また、上限を一致させるのに十分な条件を提供し、いくつかの特別なケースでこの状態が満たされていることを示します。
過去の仕事を考えると、これらの上限と下限はその形では驚くことではありません。
私たちの主な貢献は、たとえば、彼らが保持する一般性です。たとえば、クラスの参照対策やコンパクトさを必要としません。

要約(オリジナル)

We prove two lower bounds for stopping times of sequential tests between general composite nulls and alternatives. The first lower bound is for the setting where the type-1 error level $\alpha$ approaches zero, and equals $\log(1/\alpha)$ divided by a certain infimum KL divergence, termed $\operatorname{KL_{inf}}$. The second lower bound applies to the setting where $\alpha$ is fixed and $\operatorname{KL_{inf}}$ approaches 0 (meaning that the null and alternative sets are not separated) and equals $c \operatorname{KL_{inf}}^{-1} \log \log \operatorname{KL_{inf}}^{-1}$ for a universal constant $c > 0$. We also provide a sufficient condition for matching the upper bounds and show that this condition is met in several special cases. Given past work, these upper and lower bounds are unsurprising in their form; our main contribution is the generality in which they hold, for example, not requiring reference measures or compactness of the classes.

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