PODNO: Proper Orthogonal Decomposition Neural Operators

要約

この論文では、高周波成分が支配する部分微分方程式（PDE）を解くために、適切な直交分解神経演算子（PODNO）を紹介します。
フーリエ神経演算子（FNO）の構造に基づいて、Podnoはフーリエ変換を、適切な直交分解（POD）メソッドから派生した（逆）オルソーマル変換に置き換えて、積分カーネルを構築します。
PODベースの最適性により、Podnoは高周波問題の精度と計算効率の両方でFNOを上回る可能性があります。
分析の観点から、一般化スペクトル演算子（GSO）と呼ばれるPodnoの一般化の普遍性を確立しました。
さらに、非線形Schrodinger（NLS）方程式やKadomtsev-Petviashvili（KP）方程式などの分散方程式について、Podnoのパフォーマンスを数値的に評価します。

要約(オリジナル)

In this paper, we introduce Proper Orthogonal Decomposition Neural Operators (PODNO) for solving partial differential equations (PDEs) dominated by high-frequency components. Building on the structure of Fourier Neural Operators (FNO), PODNO replaces the Fourier transform with (inverse) orthonormal transforms derived from the Proper Orthogonal Decomposition (POD) method to construct the integral kernel. Due to the optimality of POD basis, the PODNO has potential to outperform FNO in both accuracy and computational efficiency for high-frequency problems. From analysis point of view, we established the universality of a generalization of PODNO, termed as Generalized Spectral Operator (GSO). In addition, we evaluate PODNO’s performance numerically on dispersive equations such as the Nonlinear Schrodinger (NLS) equation and the Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation.

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