Continuum limit of $p$-biharmonic equations on graphs

要約

このホワイトペーパーでは、グラフ上の$ p $ biharmonic方程式を研究します。グラフは、ポイントクラウド処理で発生し、ハイパーグラフの観点からグラフ$ p $ -laplacianの自然な拡張として解釈できます。
ランダムな幾何学グラフを考慮し、データポイントの数が無限になると、溶液の漸近挙動が調査されます。
連続体限界は、均一なノイマン境界条件を備えた適切に加重された$ p $ biharmonic方程式であることを示します。
結果は、非ローカルおよびグラフポアソン方程式の溶液と勾配の均一な$ l^p $推定に依存しています。
ソリューションの$ l^\ infty $の推定値も副産物として取得されます。

要約(オリジナル)

This paper studies the $p$-biharmonic equation on graphs, which arises in point cloud processing and can be interpreted as a natural extension of the graph $p$-Laplacian from the perspective of hypergraph. The asymptotic behavior of the solution is investigated when the random geometric graph is considered and the number of data points goes to infinity. We show that the continuum limit is an appropriately weighted $p$-biharmonic equation with homogeneous Neumann boundary conditions. The result relies on the uniform $L^p$ estimates for solutions and gradients of nonlocal and graph Poisson equations. The $L^\infty$ estimates of solutions are also obtained as a byproduct.

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