Approximating Optimal Labelings for Temporal Connectivity

要約

一時的なグラフでは、エッジセットは、エッジが使用可能な時間ステップを示す各エッジに関連付けられた一連のタイムラベルに応じて、時間の経過とともに動的に変化します。
2つの頂点が接続されています。それらを接続するパスがあり、エッジがラベルの順序を増やして通過します。
すべての頂点のペアが特定の最大時間内で接続され、ラベルの総数が最小化されるように、一時的なグラフのエッジの可用性時間をスケジュールする問題を調査します。
\ emphed {Minimut Aged Laveling}（MAL）として知られる問題には、ソーシャルネットワークで拡散するロジスティクス、流通スケジューリング、および情報が広がるいくつかのアプリケーションがあります。この場合、タイムラベルを慎重に選択すると、インフラストラクチャコスト、燃料消費、または温室効果ガスが大幅に削減されます。
問題は、以前は、無向グラフではNPが完全に、指示されたグラフでは\ APXハードであることが証明されていました。
この論文では、いくつかの方向におけるMALの複雑さと近似性に関する知識を拡張します。
最初に、$ a \ geq 2 $の場合、$ o（\ log n）$よりも$ o（\ log n）$よりも優れた係数内で、$ \ text {p} = \ text {np} $、および$ 2 ^{\ log ^{1- \ epsilon} n} $よりも優れた因子が$ 2よりも優れていないことを示しています。
\ text {dtime}（2^{\ text {polylog}（n）}）$、$ n $はグラフの頂点の数です。
次に、いくつかの条件下で、これらの下限にほぼ一致する一連の近似アルゴリズムを示します。
特に、近似は$ a $と入力グラフの直径の関係に依存することを示します。
さらに、\ emphent {直径制約のサブグラフ}（DCSS）と呼ばれる静的グラフの基礎最適化問題との接続を確立し、硬度の結果がDCSSにも当てはまることを示します。

要約(オリジナル)

In a temporal graph the edge set dynamically changes over time according to a set of time-labels associated with each edge that indicates at which time-steps the edge is available. Two vertices are connected if there is a path connecting them in which the edges are traversed in increasing order of their labels. We study the problem of scheduling the availability time of the edges of a temporal graph in such a way that all pairs of vertices are connected within a given maximum allowed time $a$ and the overall number of labels is minimized. The problem, known as \emph{Minimum Aged Labeling} (MAL), has several applications in logistics, distribution scheduling, and information spreading in social networks, where carefully choosing the time-labels can significantly reduce infrastructure costs, fuel consumption, or greenhouse gases. The problem MAL has previously been proved to be NP-complete on undirected graphs and \APX-hard on directed graphs. In this paper, we extend our knowledge on the complexity and approximability of MAL in several directions. We first show that the problem cannot be approximated within a factor better than $O(\log n)$ when $a\geq 2$, unless $\text{P} = \text{NP}$, and a factor better than $2^{\log ^{1-\epsilon} n}$ when $a\geq 3$, unless $\text{NP}\subseteq \text{DTIME}(2^{\text{polylog}(n)})$, where $n$ is the number of vertices in the graph. Then we give a set of approximation algorithms that, under some conditions, almost match these lower bounds. In particular, we show that the approximation depends on a relation between $a$ and the diameter of the input graph. We further establish a connection with a foundational optimization problem on static graphs called \emph{Diameter Constrained Spanning Subgraph} (DCSS) and show that our hardness results also apply to DCSS.

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