Mildly-Interacting Fermionic Unitaries are Efficiently Learnable

要約

最近の研究では、フェルミオン性ガウスユニタリスを効率的に学習できることが示されています。これは、一般的に最も近いマッチサーキットまたは非相互作用のフェルミオン型ユニタリーとしても知られています。
ただし、ガウスの近くにあるユニタリーについて同様の質問をすることができます。たとえば、少数の非ガウス回路要素で調製されたユニタリー。
これらの演算子は、量子化学と多体物理学に重要性を見出していますが、それらを学習するアルゴリズムは存在しません。
$ n $ n $のフェルミオン単位$ u $を最大$ o（t）$非ガウスゲートで調製し、ダイヤモンド距離に近似した$ u $に近似した回路を返すアルゴリズムを考案することにより、最初のそのような結果を与えます。
これにより、最強の距離メトリックの下でメレとヘラサイメンコの中心的なオープンな問題が解決されます。
実際、私たちのアルゴリズムははるかに一般的です。単一ガウスの次元として知られる単一ガウスの特性を定義し、アルゴリズムが少なくとも$ 2N -O（T）$の$ n $ n $ unitariesを学習できることを示しています。
実際、このクラスは、最大$ o（t）$非ガウスの門によって準備されたユニタリーを包含していますが、建設するために最大2ドル^{o（t）} $非ガウスのゲートを必要とするいくつかのユニタリーも含まれています。
さらに、$ \ textrm {poly}（n、1/\ varepsilon）$ – タイムアルゴリズムを提供して、$ n $ modeユニタリが少なくとも$ k $ k $ k $または$ \ varepsilon $ -farであるかどうかを区別します。
途中で、私たちは、独立した関心があると思われるガウス近くのフェルミオン型ユニタリーについての構造的結果を証明します。

要約(オリジナル)

Recent work has shown that one can efficiently learn fermionic Gaussian unitaries, also commonly known as nearest-neighbor matchcircuits or non-interacting fermionic unitaries. However, one could ask a similar question about unitaries that are near Gaussian: for example, unitaries prepared with a small number of non-Gaussian circuit elements. These operators find significance in quantum chemistry and many-body physics, yet no algorithm exists to learn them. We give the first such result by devising an algorithm which makes queries to a $n$-mode fermionic unitary $U$ prepared by at most $O(t)$ non-Gaussian gates and returns a circuit approximating $U$ to diamond distance $\varepsilon$ in time $\textrm{poly}(n,2^t,1/\varepsilon)$. This resolves a central open question of Mele and Herasymenko under the strongest distance metric. In fact, our algorithm is much more general: we define a property of unitary Gaussianity known as unitary Gaussian dimension and show that our algorithm can learn $n$-mode unitaries of Gaussian dimension at least $2n – O(t)$ in time $\textrm{poly}(n,2^t,1/\varepsilon)$. Indeed, this class subsumes unitaries prepared by at most $O(t)$ non-Gaussian gates but also includes several unitaries that require up to $2^{O(t)}$ non-Gaussian gates to construct. In addition, we give a $\textrm{poly}(n,1/\varepsilon)$-time algorithm to distinguish whether an $n$-mode unitary is of Gaussian dimension at least $k$ or $\varepsilon$-far from all such unitaries in Frobenius distance, promised that one is the case. Along the way, we prove structural results about near-Gaussian fermionic unitaries that are likely to be of independent interest.

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