Differentially Private Geodesic and Linear Regression

要約

統計アプリケーションでは、マニホールドなどの非線形空間に住んでいるデータ構造に遭遇することがますます一般的になっています。
統計学習の最も基本的な方法の1つである古典的な線形回帰は、ユークリッド空間に住むと想定される独立変数と応答変数との関係を捉えています。
したがって、測地線の回帰は、応答変数がリーマニアの多様体に存在する拡張として現れました。
線形回帰と同様に、測地線回帰のパラメーターは、機密データの関係をキャプチャするため、当該パラメーターのプライバシー保護慣行を考慮する必要があります。
RiemannianマニホールドのK-ノーム勾配（KNG）メカニズムを介して、測地線回帰の差次的にプライベートな（DP）パラメーターをリリースすることを検討します。
パラメーターの感度の理論的境界を導き出し、それぞれのヤコビフィールド、したがって空間の曲率に結びついていることを示します。
これは、fre \ ‘echet平均の差別的なプライバシーの最近の調査結果を裏付けています。
領域での方法論の有効性、$ \ mbs^2 \ Subset \ mbr^3 $を示し、それはリーマニアの多様体にとって一般的であるため、線形回帰の場合に測地線の回帰を単純化するユークリッド空間の多様体が一般的です。
私たちの方法論は、あらゆるリーマニアン多様体にとって一般的であるため、医療イメージングやコンピュータービジョンなどのドメインのデータに適しています。

要約(オリジナル)

In statistical applications it has become increasingly common to encounter data structures that live on non-linear spaces such as manifolds. Classical linear regression, one of the most fundamental methodologies of statistical learning, captures the relationship between an independent variable and a response variable which both are assumed to live in Euclidean space. Thus, geodesic regression emerged as an extension where the response variable lives on a Riemannian manifold. The parameters of geodesic regression, as with linear regression, capture the relationship of sensitive data and hence one should consider the privacy protection practices of said parameters. We consider releasing Differentially Private (DP) parameters of geodesic regression via the K-Norm Gradient (KNG) mechanism for Riemannian manifolds. We derive theoretical bounds for the sensitivity of the parameters showing they are tied to their respective Jacobi fields and hence the curvature of the space. This corroborates recent findings of differential privacy for the Fr\’echet mean. We demonstrate the efficacy of our methodology on the sphere, $\mbS^2\subset\mbR^3$ and, since it is general to Riemannian manifolds, the manifold of Euclidean space which simplifies geodesic regression to a case of linear regression. Our methodology is general to any Riemannian manifold and thus it is suitable for data in domains such as medical imaging and computer vision.

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