On lower bounds of the density of planar periodic sets without unit distances

要約

最大密度を決定する$ m_1（\ mathbb {r}^2）$ of planar sets of unit distancesのない$は、組み合わせ幾何学の根本的な問題です。
このペーパーでは、この量の下限を調査します。
問題を平坦なトーラスから構築されたグラフの最大独立セット（MIS）問題として再定式化することにより、$ M_1（\ mathbb {r}^2）$を推定するための新しいアプローチを導入し、2つの非共線ベクトルに関して定期的なセットに焦点を当てます。
提案された方法の理論的正当化によってサポートされている実験結果は、十分に広い範囲のパラメーターについて、このアプローチが既知の下限$ 0.22936 \ le m_1（\ mathbb {r}^2）$を改善しないことを示しています。
見つかった最良の離散セットは、Croftの構造の近似です。
さらに、MIS問題のためのいくつかのオープンソースソフトウェアパッケージがこのタスクで比較されます。

要約(オリジナル)

Determining the maximal density $m_1(\mathbb{R}^2)$ of planar sets without unit distances is a fundamental problem in combinatorial geometry. This paper investigates lower bounds for this quantity. We introduce a novel approach to estimating $m_1(\mathbb{R}^2)$ by reformulating the problem as a Maximal Independent Set (MIS) problem on graphs constructed from flat torus, focusing on periodic sets with respect to two non-collinear vectors. Our experimental results, supported by theoretical justifications of proposed method, demonstrate that for a sufficiently wide range of parameters this approach does not improve the known lower bound $0.22936 \le m_1(\mathbb{R}^2)$. The best discrete sets found are approximations of Croft’s construction. In addition, several open source software packages for MIS problem are compared on this task.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google