Hodge Laplacians and Hodge Diffusion Maps

要約

Hodge Diffusion Mapsは、高次元データセットからトポロジー情報を分析および抽出するように設計された新しい多様な学習アルゴリズムです。
この方法は、微分形態に作用する外部誘導体に近似し、それによりホッジラプラシアンオペレーターの近似を提供します。
ホッジ拡散マップは、ベクター拡散マップを含む既存の非線形寸法削減技術、および拡散マップとラプラシアン固有マップの背後にある理論を拡張します。
私たちのアプローチは、Hodge Laplacianを使用して、それをより低次元のユークリッド空間に投影することにより、データセットの高次トポロジー特徴を捉えています。
実質マニホールドに分布したサンプルポイントに基づいて、外部誘導体の近似誤差を推定するための理論的枠組みを開発します。
数値実験では、提案された方法論をサポートおよび検証します。

要約(オリジナル)

We introduce Hodge Diffusion Maps, a novel manifold learning algorithm designed to analyze and extract topological information from high-dimensional data-sets. This method approximates the exterior derivative acting on differential forms, thereby providing an approximation of the Hodge Laplacian operator. Hodge Diffusion Maps extend existing non-linear dimensionality reduction techniques, including vector diffusion maps, as well as the theories behind diffusion maps and Laplacian Eigenmaps. Our approach captures higher-order topological features of the data-set by projecting it into lower-dimensional Euclidean spaces using the Hodge Laplacian. We develop a theoretical framework to estimate the approximation error of the exterior derivative, based on sample points distributed over a real manifold. Numerical experiments support and validate the proposed methodology.

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