Generative Latent Neural PDE Solver using Flow Matching

要約

自動脱着次のステップ予測モデルは、データ駆動型ニューラルソルバーを構築して、時間依存の部分微分方程式（PDE）を予測するための事実上の標準となっています。
拡散確率モデルに密接に関連するデノワーズトレーニングは、神経ソルバーの時間的安定性を高めることが示されていますが、その確率的推論メカニズムにより、アンサンブルの予測と不確実性の定量化が可能になります。
原則として、このようなトレーニングには、トレーニングと推論の両方で一連の離散化された拡散タイムステップをサンプリングし、必然的に計算オーバーヘッドを増加させます。
さらに、ほとんどの拡散モデルは、構造化された均一なグリッドに等方性ガウスノイズを適用し、不規則なドメインへの適応性を制限します。
PDEシミュレーションの潜在的な拡散モデルを提案し、PDE状態を低次元潜在空間に埋め込み、計算コストを大幅に削減します。
私たちのフレームワークでは、自動エンコーダーを使用して、さまざまな種類のメッシュを統合された構造化された潜在網にマッピングし、複雑なジオメトリをキャプチャします。
一般的な拡散パスを分析することにより、トレーニングとテストの両方でフローマッチングから粗くサンプリングされたノイズスケジュールを使用することを提案します。
数値実験は、提案されたモデルが精度と長期の安定性の両方におけるいくつかの決定論的ベースラインよりも優れていることを示しており、堅牢なデータ駆動型PDE学習のための拡散ベースのアプローチの可能性を強調しています。

要約(オリジナル)

Autoregressive next-step prediction models have become the de-facto standard for building data-driven neural solvers to forecast time-dependent partial differential equations (PDEs). Denoise training that is closely related to diffusion probabilistic model has been shown to enhance the temporal stability of neural solvers, while its stochastic inference mechanism enables ensemble predictions and uncertainty quantification. In principle, such training involves sampling a series of discretized diffusion timesteps during both training and inference, inevitably increasing computational overhead. In addition, most diffusion models apply isotropic Gaussian noise on structured, uniform grids, limiting their adaptability to irregular domains. We propose a latent diffusion model for PDE simulation that embeds the PDE state in a lower-dimensional latent space, which significantly reduces computational costs. Our framework uses an autoencoder to map different types of meshes onto a unified structured latent grid, capturing complex geometries. By analyzing common diffusion paths, we propose to use a coarsely sampled noise schedule from flow matching for both training and testing. Numerical experiments show that the proposed model outperforms several deterministic baselines in both accuracy and long-term stability, highlighting the potential of diffusion-based approaches for robust data-driven PDE learning.

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