Partial Gromov-Wasserstein Metric

要約

Gromov-Wasserstein（GW）距離は、さまざまなメトリック空間での測定値の比較を可能にするため、近年、機械学習コミュニティへの関心が高まっています。
古典的なGW問題の平等な質量要件によって課される制限を克服するために、研究者は不均衡な設定での適用を調査し始めました。
ただし、不均衡なGW（UGW）は、2つのメトリック測定スペース（MMスペース）間の厳密なメトリック/距離ではなく、不一致とのみ見なすことができます。
この論文では、部分的なグロモフヴァッシェルスタイン（PGW）と呼ばれるUGW問題の特定のケースを提案します。
PGWはMMスペースの間の明確なメトリックであることを確立し、PGW問題のミニマイザーの存在やPGWとGWの関係など、その理論的特性について議論します。
次に、PGWの問題を解決するためのフランクウルフアルゴリズムの2つのバリエーションを提案し、それらが数学的および計算的に同等であることを示します。
さらに、PGWメトリックに基づいて、MMスペースの速度ターの類似の概念を紹介します。
最後に、既存のベースラインと比較して、形状マッチング、形状検索、形状補間などのアプリケーションでのPGWメトリックおよび関連ソルバーの有効性を検証します。
私たちのコードは、https：//github.com/mint-vu/pgw_metricで入手できます。

要約(オリジナル)

The Gromov-Wasserstein (GW) distance has gained increasing interest in the machine learning community in recent years, as it allows for the comparison of measures in different metric spaces. To overcome the limitations imposed by the equal mass requirements of the classical GW problem, researchers have begun exploring its application in unbalanced settings. However, Unbalanced GW (UGW) can only be regarded as a discrepancy rather than a rigorous metric/distance between two metric measure spaces (mm-spaces). In this paper, we propose a particular case of the UGW problem, termed Partial Gromov-Wasserstein (PGW). We establish that PGW is a well-defined metric between mm-spaces and discuss its theoretical properties, including the existence of a minimizer for the PGW problem and the relationship between PGW and GW, among others. We then propose two variants of the Frank-Wolfe algorithm for solving the PGW problem and show that they are mathematically and computationally equivalent. Moreover, based on our PGW metric, we introduce the analogous concept of barycenters for mm-spaces. Finally, we validate the effectiveness of our PGW metric and related solvers in applications such as shape matching, shape retrieval, and shape interpolation, comparing them against existing baselines. Our code is available at https://github.com/mint-vu/PGW_Metric.

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