Communities in the Kuramoto Model: Dynamics and Detection via Path Signatures

要約

多変量動的プロセスの動作は、システムのコンポーネントを関連付ける基礎となる構造接続によって支配されることがよくあります。
たとえば、時系列を介してしばしば測定される脳の活動は、基礎となる構造グラフによって決定されます。ノードはニューロンまたは脳領域を表し、エッジは皮質のつながりを表します。
相関ベースやスペクトル技術などの観測されたダイナミクスから構造的接続を推測するための既存の方法は、解釈可能な方法で高次元の時系列で複雑な関係を完全にキャプチャできない可能性があります。
ここでは、この問題に対処するために連続パスの幾何学的および時間的特性をコードする数学的なフレームワークであるパスシグネチャの使用を提案します。
パスシグネチャは、動的データのレパラメーター化不変の特性評価を提供し、特に、リードラグ現象を明らかにするリードマトリックスを計算するために使用できます。
確率的ブロックモデルグラフで定義されたKuramoto Stochastic Block Model（KSBM）と呼ばれるKuramotoモデルの結合発振器からの時系列へのアプローチを紹介します。
平均フィールド理論とガウス近似を使用して、さまざまな時間体制におけるKSBMダイナミクスの還元モデルを分析的に導き出し、これらの設定のリードマトリックスを理論的に特徴付けます。
これらの洞察を活用して、新しいシグネチャーベースのコミュニティ検出アルゴリズムを提案し、複数のKSBMインスタンスで観察された時系列から構造コミュニティの正確な回復を達成します。
我々の結果は、パスシグネチャが複雑な神経データや他の高次元システムの分析に関する新しい視点を提供し、一時的な機能関係を明示的に活用して基礎となる構造を推測することを示しています。

要約(オリジナル)

The behavior of multivariate dynamical processes is often governed by underlying structural connections that relate the components of the system. For example, brain activity which is often measured via time series is determined by an underlying structural graph, where nodes represent neurons or brain regions and edges represent cortical connectivity. Existing methods for inferring structural connections from observed dynamics, such as correlation-based or spectral techniques, may fail to fully capture complex relationships in high-dimensional time series in an interpretable way. Here, we propose the use of path signatures a mathematical framework that encodes geometric and temporal properties of continuous paths to address this problem. Path signatures provide a reparametrization-invariant characterization of dynamical data and, in particular, can be used to compute the lead matrix which reveals lead-lag phenomena. We showcase our approach on time series from coupled oscillators in the Kuramoto model defined on a stochastic block model graph, termed the Kuramoto stochastic block model (KSBM). Using mean-field theory and Gaussian approximations, we analytically derive reduced models of KSBM dynamics in different temporal regimes and theoretically characterize the lead matrix in these settings. Leveraging these insights, we propose a novel signature-based community detection algorithm, achieving exact recovery of structural communities from observed time series in multiple KSBM instances. Our results demonstrate that path signatures provide a novel perspective on analyzing complex neural data and other high-dimensional systems, explicitly exploiting temporal functional relationships to infer underlying structure.

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