Glivenko-Cantelli for $f$-divergence

要約

総変動距離の標準設定からすべての$ f $ divergencesまで、統計の基本的な定理と呼ばれることもある有名なGlivenko-Cantelliの定理を拡張します。
この努力の重要な障害は、$ \ pi $ -Systemを形成する$ \ sigma $ -olgebraのサブコレクションで$ f $ divergenceを定義することです。
これは私たちの仕事の副貢献です。
レイズの$ \ pi $ -systemの$ f $ divergenceのこの概念は、標準$ f $ divergenceのほぼすべての既知の特性を保存し、コルモゴロフスミルノフ距離の新規統合表現を生成し、Glivenko-Cantelli理論を持っていることを示します。

要約(オリジナル)

We extend the celebrated Glivenko-Cantelli theorem, sometimes called the fundamental theorem of statistics, from its standard setting of total variation distance to all $f$-divergences. A key obstacle in this endeavor is to define $f$-divergence on a subcollection of a $\sigma$-algebra that forms a $\pi$-system but not a $\sigma$-subalgebra. This is a side contribution of our work. We will show that this notion of $f$-divergence on the $\pi$-system of rays preserves nearly all known properties of standard $f$-divergence, yields a novel integral representation of the Kolmogorov-Smirnov distance, and has a Glivenko-Cantelli theorem.

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