Contraction Theory for Nonlinear Stability Analysis and Learning-based Control: A Tutorial Overview

要約

収縮理論は、均一に正の明確なマトリックスで定義された収縮メトリックの下で、非自律的な（すなわち、時変）非線形システムの微分ダイナミクスを研究するための分析ツールであり、その存在は、その存在が、それ以外の場合に複数の溶液軌跡の増分指数安定性の必要かつ十分な特性評価をもたらします。
四方の微分長をリアプノフ様関数として使用することにより、その非線形安定性分析は、線形マトリックスの不等式として表される安定性条件を満たす適切な収縮メトリックを見つけることに煮詰め、多くの類似点がよく知られている線形系理論と非線形系の縮小理論の間に描画できることを示します。
さらに、収縮理論は、比較補題と組み合わせて使用​​される指数関数的安定性の優れた堅牢性を活用します。
これにより、入力間の安定性のために均一な漸近安定性を使用するより複雑な方法に頼ることなく、ニューラルネットワークベースの制御および推定スキームの非常に必要な安全性と安定性保証が得られます。
このような特徴的な特徴により、凸最適化を介して収縮メトリックの体系的な構築が可能になり、それにより、障害と学習エラーのために外部的に摂動する時変ターゲット軌道と溶液の軌跡の間の距離に明示的な指数関数的結合が得られます。
したがって、このペーパーの目的は、さまざまな学習ベースおよびデータ駆動型の自動制御方法の正式な堅牢性と安定性保証を導き出すことに重点を置いて、収縮理論のチュートリアルの概要と、決定論的および確率的システムの非線形安定性分析におけるその利点を示すことです。
特に、ディープニューラルネットワークを使用して収縮メトリックと関連する制御および推定法を見つけるための手法の詳細なレビューを提供します。

要約(オリジナル)

Contraction theory is an analytical tool to study differential dynamics of a non-autonomous (i.e., time-varying) nonlinear system under a contraction metric defined with a uniformly positive definite matrix, the existence of which results in a necessary and sufficient characterization of incremental exponential stability of multiple solution trajectories with respect to each other. By using a squared differential length as a Lyapunov-like function, its nonlinear stability analysis boils down to finding a suitable contraction metric that satisfies a stability condition expressed as a linear matrix inequality, indicating that many parallels can be drawn between well-known linear systems theory and contraction theory for nonlinear systems. Furthermore, contraction theory takes advantage of a superior robustness property of exponential stability used in conjunction with the comparison lemma. This yields much-needed safety and stability guarantees for neural network-based control and estimation schemes, without resorting to a more involved method of using uniform asymptotic stability for input-to-state stability. Such distinctive features permit the systematic construction of a contraction metric via convex optimization, thereby obtaining an explicit exponential bound on the distance between a time-varying target trajectory and solution trajectories perturbed externally due to disturbances and learning errors. The objective of this paper is, therefore, to present a tutorial overview of contraction theory and its advantages in nonlinear stability analysis of deterministic and stochastic systems, with an emphasis on deriving formal robustness and stability guarantees for various learning-based and data-driven automatic control methods. In particular, we provide a detailed review of techniques for finding contraction metrics and associated control and estimation laws using deep neural networks.

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