Breaking the Symmetries of Indistinguishable Objects

要約

区別できないオブジェクトは、制約プログラミングの問題をモデル化するとき、および他の関連するパラダイムでしばしば発生することがよくあります。
それらは、オブジェクトが一連の非標識オブジェクトから描かれていると見なされると発生し、それらに許可されている唯一の操作は平等テストです。
たとえば、ソーシャルゴルファーの問題のゴルファーは区別できません。
ゴルファーにラベルを付けると、1つのソリューションでゴルファーのリラベリングが別の有効なソリューションを提供します。
したがって、サイズ$ n $の対称グループは、$ n $の区別可能なオブジェクトのセットに作用すると見なすことができます。
この論文では、区別できないオブジェクトに起因する対称性をどのように破ることができるかを示します。
区別できないオブジェクトの対称性が、例えば区別できないオブジェクトによってインデックス付けされたマトリックスで、複雑なタイプでどのように適切に定義できるかを示します。
次に、結果の対称性を正しく壊す方法を示します。
本質的に、高レベルのモデリング言語である区別できないオブジェクトは、「無名のタイプ」でカプセル化されています。
本質的に無名のタイプの完全な対称性破壊の実装を提供します。

要約(オリジナル)

Indistinguishable objects often occur when modelling problems in constraint programming, as well as in other related paradigms. They occur when objects can be viewed as being drawn from a set of unlabelled objects, and the only operation allowed on them is equality testing. For example, the golfers in the social golfer problem are indistinguishable. If we do label the golfers, then any relabelling of the golfers in one solution gives another valid solution. Therefore, we can regard the symmetric group of size $n$ as acting on a set of $n$ indistinguishable objects. In this paper, we show how we can break the symmetries resulting from indistinguishable objects. We show how symmetries on indistinguishable objects can be defined properly in complex types, for example in a matrix indexed by indistinguishable objects. We then show how the resulting symmetries can be broken correctly. In Essence, a high-level modelling language, indistinguishable objects are encapsulated in ‘unnamed types’. We provide an implementation of complete symmetry breaking for unnamed types in Essence.

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