Dispersion is (Almost) Optimal under (A)synchrony

要約

分散の問題は、分散コンピューティングの文献で最近多くの注目を集めています。
この問題では、$ n $ -Nodeのノードに最初に任意に配置された$ k \ leq n $エージェント、$ m $ $ edge anonymous and of of maximut $ \ delta $のグラフは、各エージェントがグラフの異なるノード上にある構成に到達するために自律的に再配置する必要があります。
分散は、探査、散乱、負荷分散、自己主導の電気自動車（ロボット）のリチャージステーション（ノード）などのグラフ上のモバイルエージェントによる多くの基本的な調整の問題とのつながりがあるため、興味深いものであり、重要です。目的は、同時に時間と記憶の複雑さを最適化するソリューションを提供することでした。
時間の複雑さの下限が$ \ omega（k）$であるグラフが存在します。
メモリの複雑さは、グラフトポロジとは無関係にエージェントごとに$ \ omega（\ log k）$です。
最先端のアルゴリズムには、（i）時間の複雑さ$ o（k \ log^2k）$およびメモリの複雑さ$ o（\ log（k+\ delta））$が同期設定[disc’24]および（ii）時間の複雑さ$ o（\ min \ {m、k \ delta \}）$ o log
非同期設定[Opodis’21]。
この論文では、この最先端について大幅に改善しています。
[disc’24]のように同期設定では、メモリの複雑さを維持する最初の最適な$ o（k）$ timeアルゴリズムを提示します$ o（\ log（k+\ delta））$。
[opodis’21]のような非同期設定では、最初のアルゴリズムを時間の複雑さを備えています。
両方の結果は、エージェントを沈殿させる空のノードを迅速に見つけるための新しい技術を通じて得られました。

要約(オリジナル)

The dispersion problem has received much attention recently in the distributed computing literature. In this problem, $k\leq n$ agents placed initially arbitrarily on the nodes of an $n$-node, $m$-edge anonymous graph of maximum degree $\Delta$ have to reposition autonomously to reach a configuration in which each agent is on a distinct node of the graph. Dispersion is interesting as well as important due to its connections to many fundamental coordination problems by mobile agents on graphs, such as exploration, scattering, load balancing, relocation of self-driven electric cars (robots) to recharge stations (nodes), etc. The objective has been to provide a solution that optimizes simultaneously time and memory complexities. There exist graphs for which the lower bound on time complexity is $\Omega(k)$. Memory complexity is $\Omega(\log k)$ per agent independent of graph topology. The state-of-the-art algorithms have (i) time complexity $O(k\log^2k)$ and memory complexity $O(\log(k+\Delta))$ under the synchronous setting [DISC’24] and (ii) time complexity $O(\min\{m,k\Delta\})$ and memory complexity $O(\log(k+\Delta))$ under the asynchronous setting [OPODIS’21]. In this paper, we improve substantially on this state-of-the-art. Under the synchronous setting as in [DISC’24], we present the first optimal $O(k)$ time algorithm keeping memory complexity $O(\log (k+\Delta))$. Under the asynchronous setting as in [OPODIS’21], we present the first algorithm with time complexity $O(k\log k)$ keeping memory complexity $O(\log (k+\Delta))$, which is time-optimal within an $O(\log k)$ factor despite asynchrony. Both results were obtained through novel techniques to quickly find empty nodes to settle agents, which may be of independent interest.

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