A discontinuity-capturing neural network with categorical embedding and its application to anisotropic elliptic interface problems

要約

この論文では、区分的な滑らかな機能を表すために、カテゴリー埋め込みを備えた不連続にキャプチャする浅いニューラルネットワークを提案します。
ネットワークには、3つの隠された層、不連続キャプチャレイヤー、カテゴリー埋め込み層、および完全に接続されたレイヤーが含まれます。
このような設計の下では、多数のピースを使用しても、区分的な滑らかな機能が、予測精度が高い単一のニューラルネットワークによって近似できることを示しています。
次に、提案されたネットワークモデルを活用して、異方性楕円形の界面の問題を解決します。
ネットワークは、システムの平均四角誤差損失を最小化することによりトレーニングされます。
我々の結果は、その単純で浅い構造にもかかわらず、提案されたニューラルネットワークモデルは、従来のグリッドベースの数値的手法と同等の効率と精度を示すことを示しています。

要約(オリジナル)

In this paper, we propose a discontinuity-capturing shallow neural network with categorical embedding to represent piecewise smooth functions. The network comprises three hidden layers, a discontinuity-capturing layer, a categorical embedding layer, and a fully-connected layer. Under such a design, we show that a piecewise smooth function, even with a large number of pieces, can be approximated by a single neural network with high prediction accuracy. We then leverage the proposed network model to solve anisotropic elliptic interface problems. The network is trained by minimizing the mean squared error loss of the system. Our results show that, despite its simple and shallow structure, the proposed neural network model exhibits comparable efficiency and accuracy to traditional grid-based numerical methods.

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