Neural network-based Godunov corrections for approximate Riemann solvers using bi-fidelity learning

要約

Riemannの問題は、双曲線の部分微分方程式の計算モデリングにおいて基本的であり、安定した正確な風上スキームの開発を可能にします。
正確なソルバーは堅牢な隆起フラックスを提供しますが、その高い計算コストにはおおよそのソルバーが必要です。
近似ソルバーは多くのシナリオで正確さを達成しますが、特定の場合には不正確なソリューションを生成します。
この制限を克服するために、インテリアと外部の保守的な状態変数を対応する正確なフラックスにマッピングするように設計された、監視された学習を使用して訓練されたニューラルネットワークベースのサロゲートモデルの構築を提案します。
具体的には、2つの異なるアプローチを提案します。1つはバニラニューラルネットワークを利用し、もう1つは双フィ性ニューラルネットワークを採用しています。
提案されたアプローチのパフォーマンスは、1次元および2次元の部分微分方程式への応用を通じて実証され、堅牢性と精度を示します。

要約(オリジナル)

The Riemann problem is fundamental in the computational modeling of hyperbolic partial differential equations, enabling the development of stable and accurate upwind schemes. While exact solvers provide robust upwinding fluxes, their high computational cost necessitates approximate solvers. Although approximate solvers achieve accuracy in many scenarios, they produce inaccurate solutions in certain cases. To overcome this limitation, we propose constructing neural network-based surrogate models, trained using supervised learning, designed to map interior and exterior conservative state variables to the corresponding exact flux. Specifically, we propose two distinct approaches: one utilizing a vanilla neural network and the other employing a bi-fidelity neural network. The performance of the proposed approaches is demonstrated through applications to one-dimensional and two-dimensional partial differential equations, showcasing their robustness and accuracy.

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